a4103

3

Ομάδα μεταφορών:

Έστω ένας χώρος 2D (x, y). Σε τέτοιο χώρο, μια μεταφορά ορίζεται από ένα διάνυσμα μεταφοράς (Dx, Dy). Συνήθως γράφουμε:

(27)

x' = x + Dx
y' = y + Dy

Για να πάρουμε τις νέες τιμές x' και y', χρησιμοποιούμε την πρόσθεση. Μπορούμε να πάρουμε τα ίδια αποτελέσματα με πολλαπλασιασμό;

Έστω οι παρακάτω πίνακες:

(28)

Παρατηρούμε ότι ορίζονται από δύο ανεξάρτητους παραμέτρους Dx και Dy. Έτσι, η διάσταση της ομάδας είναι 2.

Μορφή:

(29)

Παρατηρούμε ότι αυτό διαφέρει βασικά από τον απλό πολλαπλασιασμό πινάκων

(30)

g × r

Είναι μια ιδιαίτερη δράση της ομάδας.

(31)

Επίσης, μπορούμε να θεωρήσουμε μεταφορές σε χώρους 3D ή 4D. Οι αντίστοιχοι τετραγωνικοί πίνακες, που αποτελούν ομάδες, είναι:

(32)

(33)

Η αντίστοιχη δράση είναι:

(34)

Η ομάδα των μεταφορών είναι αντιμεταθετική. Το ουδέτερο στοιχείο της είναι η μηδενική μεταφορά.

Γιατί ομάδες πινάκων;

Με τις ομάδες πινάκων μπορούμε να συνδυάσουμε πολλές πράξεις σε μία, σε μια μόνο δράση. Έστω οι παρακάτω πίνακες και η ακόλουθη δράση:

(35-1)

Συνδυάζουμε δύο πράγματα: μια περιστροφή (γωνία a), πλέον μια μεταφορά (Dx, Dy).

Το στοιχείο g της ομάδας G ενεργεί στο χώρο r = (x, y), όχι "άμεσα", αλλά μέσω μιας πιο εξειδικευμένης "δράσης".

Αυτή η ομάδα

(35-2)

ονομάζεται «ειδική ευκλείδεια ομάδα SE(2)», ενεργεί στον 2D χώρο. Αυτός ο τίτλος θα εξηγηθεί παρακάτω.

Ποια είναι η διάστασή της; Εξαρτάται από τρεις ελεύθερους παραμέτρους: (a, Dx, Dy), έτσι η διάστασή της είναι τρία. Μπορούμε να γράψουμε:

g ∈ SE(a, Dx, Dy)

Υποομάδες.

Για εμάς, μια ομάδα είναι ένα σύνολο τετραγωνικών πινάκων. Μεταξύ αυτού του συνόλου μπορούμε να βρούμε υποσύνολα.

g ∈ SE(0, Dx, Dy) είναι η υποομάδα των μεταφορών.

g ∈ SE(a, 0, 0) είναι η υποομάδα των περιστροφών γύρω από την αρχή 0.

g ∈ SE(0, Dx, 0) είναι η υποομάδα των μεταφορών παράλληλα στον άξονα OX.

Η παραπάνω ομάδα μεταφέρει σημεία. Αυτά τα σημεία δεν έχουν καμία ιδιαίτερη ιδιότητα. Είναι απλά... σημεία, τίποτα περισσότερο.

Αλλά αργότερα, άλλες ομάδες, που περιγράφουν το φυσικό κόσμο, θα μεταφέρουν σημεία που θα έχουν διαφορετικές ιδιότητες, «χαρακτηριστικά»: μάζα, ενέργεια, ορμή, σπιν...

Με την παραπάνω ομάδα μόνο τα σύνολα σημείων είναι ενδιαφέροντα να μεταφερθούν. Εδώ εμφανίζεται το θεμελιώδες έννοια της:

Είδους.

Η πρώτη μας ομάδα μεταφέρει γεωμετρικά αντικείμενα, που είναι σύνολα σημείων, γεωμετρικά («στερεά») σχήματα. Το απλούστερο σύνολο αποτελείται από δύο σημεία. Έστω ζεύγη σημείων σε ένα χώρο 2D:

(35-3)

Στην εικόνα (35-3) έχουν απεικονιστεί δύο ζεύγη σημείων (A, B) και (A', B'). Μπορώ να βρω ένα στοιχείο της ομάδας που μετατρέπει (A, B) σε (A', B') : συνδυάζοντας μια περιστροφή γύρω από το σημείο O και μια μεταφορά. Παρατηρήστε την εικόνα (35-4).

(35-4)

Τώρα, θεωρήστε τα δύο ζεύγη:

(35-5)

Δεν είναι δυνατό να βρεθεί κάποιο στοιχείο g (τετραγωνικός πίνακας) της ομάδας G που να μεταφέρει (A, B) στο (A", B"). Θα πω ότι:

(A, B) και (A', B') ανήκουν στο ίδιο είδος.

(A, B) και (A", B") ανήκουν σε διαφορετικά είδη.

Η ιδιότητα ενός είδους ζευγών σημείων ονομάζεται μήκος.

Αυτή είναι η οριστική έννοια του μήκους σε όρους θεωρίας ομάδων.

Πώς μπορείτε να διαπιστώσετε ότι δύο τμήματα έχουν το ίδιο μήκος; Γιατί μπορείτε να τα συγκρίνετε, τοποθετώντας το ένα πάνω στο άλλο.

Στην ομάδα μας, δύο τμήματα που έχουν διαφορετικό μήκος ανήκουν σε διαφορετικά είδη, γιατί η ομάδα μας δεν επιτρέπει διαστολές ή συστολές (ομοιόθετες μετασχηματισμούς). Η ομάδα που ασχολείται με αυτό είναι διαφορετική ("ειδική καρτεσιανή ομάδα"):

(35-6)

Σε σχέση με αυτή την ομάδα, όλα τα ζεύγη σημείων ανήκουν στο ίδιο είδος. Η διάσταση αυτής της ομάδας είναι τέσσερα.

Αντί για δύο σημεία, μπορούμε να θεωρήσουμε τρία ή τέσσερα σημεία, τα οποία σχηματίζουν π.χ. τετράγωνα.

(36)

Σε σχέση με την ομάδα (35-1), τα τετράγωνα που έχουν πλευρές του ίδιου μήκους ανήκουν στο ίδιο είδος. Αν όμως οι πλευρές δύο τετραγώνων είναι θεμελιωδώς διαφορετικές:

(37)

ανήκουν σε διαφορετικά είδη.

Αυτή η ομάδα, που ρυθμίζει τις 2D μεταφορές και τις περιστροφές γύρω από ένα σταθερό σημείο ενός επιπέδου, είναι η ειδική ευκλείδεια ομάδα: SE(2).

Μπορούμε εύκολα να φανταστούμε μια παρόμοια ομάδα που ενεργεί σε έναν 3D χώρο. Οι ομάδες των 3D και 4D μεταφορών έχουν δοθεί στις (32) και (33).

Μπορούμε εύκολα να φανταστούμε μια ομάδα που περιγράφει τις μεταφορές σε έναν n-διάστατο χώρο. Αλλά τι γίνεται με τις περιστροφές;

Μπορούμε να φανταστούμε μια περιστροφή σε έναν 3D χώρο. Μπορούμε ακόμα να την γράψουμε με έναν πίνακα που περιέχει τρεις γωνίες, τις γωνίες Euler: έτσι η διάστασή της είναι τρία.

Δείκτης Θεωρίας Δυναμικών Ομάδων