4
Ορθογώνια μήτρες. Ορθογώνια ομάδες.
Θεωρούμε μία τετραγωνική μήτρα
a
. Η αντίστροφη μήτρα αντιστοιχεί στην εναλλαγή των όρων που είναι συμμετρικοί ως προς τη διαγώνιο, όπως φαίνεται στο σχήμα:
(38)
Συμβολίζουμε την αντίστροφη μήτρα
a⁻¹
Η οποία ικανοποιεί τη σχέση:
a × a⁻¹ = 1
Από πάρτε, δεν θα γράφουμε πλέον το σύμβολο × και θα γράφουμε απλώς:
a a⁻¹ = 1
Όταν δύο παχιές γράμματα βρίσκονται το ένα δίπλα στο άλλο, θεωρούμε ότι αντιστοιχούν αυτόματα στο γινόμενο δύο μητρών.
Μία ορθογώνια μήτρα είναι μία μήτρα της οποίας η αντίστροφη συμπίπτει με τη μήτρα της διαγωνίου.
(38b)
Μπορεί να αποδειχθεί ότι:
(38c)
έτσι ώστε το ορίζουσα μίας ορθογώνιας μήτρας να είναι ±1.
Υπάρχουν ορθογώνιες μήτρες κάθε τάξης (n,n). Μαζί σχηματίζουν ομάδες
O(n)
O(n) είναι το σύνολο των ορθογώνιων μητρών (n,n).
Θεωρούμε τις μήτρες:
(39)
Πρόκειται για ορθογώνιες μήτρες των οποίων η ορίζουσα είναι:
det(g) = +1
Είναι υποομάδα της ορθογώνιας ομάδας O(2), που ονομάζεται «ειδική ορθογώνια ομάδα» SO(2).
Έχουμε μία ορθογώνια ομάδα O(3), που αποτελείται από (3,3) ορθογώνιες μήτρες, των οποίων η ορίζουσα = ±1. Έχει υποομάδα SO(3), που αποτελείται από ορθογώνιες μήτρες των οποίων η ορίζουσα είναι +1.
Σε τέσσερις διαστάσεις: έχουμε την ορθογώνια ομάδα O(4) και την υποομάδα της: την ειδική ορθογώνια ομάδα SO(4).
Σε n διαστάσεις: η ορθογώνια ομάδα O(n), που αποτελείται από (n,n) ορθογώνιες μήτρες, των οποίων η ορίζουσα είναι ±1. Έχει μία υποομάδα που ονομάζεται ειδική ορθογώνια ομάδα SO(n), περιορισμένη στις ορθογώνιες μήτρες των οποίων η ορίζουσα είναι +1.
Μπορεί να αποδειχθεί ότι η διάσταση μίας ορθογώνιας ομάδας είναι (40)
Εφαρμογή στο δισδιάστατο επίπεδο: η διάσταση της ομάδας είναι 1.
Εφαρμογή στο τρισδιάστατο χώρο: η διάσταση της ομάδας είναι τρεις (τα τρία γωνιακά μεγέθη του Ευλέρ).
Εφαρμογή στο τετραδιάστατο χώρο: η διάσταση γίνεται έξι.
Έχουμε εισαγάγει την κατευθυνόμενη ειδική ευκλείδεια ομάδα SE(2):
(41)
που συνδυάζει περιστροφές και μεταφορές.
Συμβολίζουμε:
(42)
Τότε μπορούμε να γράψουμε τη μήτρα και τη δράση της στο χώρο:
(43)
Παρατήρηση:
(44)
Στον δισδιάστατο επίπεδο χώρο μας, στο επίπεδό μας, βρίσκουμε αντικείμενα όπως:
(45)
Θεωρώντας αυτά τα ειδικά αντικείμενα:
(46)
ανήκουν σε μία κοινή κατηγορία. Αν πάρω οποιοδήποτε ζεύγος αυτών των αντικειμένων, μπορώ να βρω ένα στοιχείο της ομάδας που μεταφέρει το πρώτο στο δεύτερο και αντίστροφα.
Το δεύτερο υποσύνολο αντικειμένων:
(47)
ανήκει σε μία άλλη κατηγορία.
Και το τρίτο επίσης:
(48)
Όμως:
(49)
Δεν μπορώ να βρω κάποια συνδυασμένη περιστροφή a με μεταφορά c που να μεταφέρει το ένα στο άλλο.
Μπορούμε να τροποποιήσουμε την κατευθυνόμενη ευκλείδεια ομάδα ώστε να γίνει αυτό δυνατό;
Δείκτης: Θεωρία Δυναμικών Ομάδων