5
Συμμετρίες.
(49b)
Τι σημαίνει αυτό;
Ας θεωρήσουμε μια ομάδα που αποτελείται από τέσσερα στοιχεία (μια «διακριτή ομάδα»).
(50)
που μπορώ να γράψω ως:
(51)
Η αντίστοιχη ενέργεια είναι:
(52)
Είναι προφανές ότι μπορεί να αντιστρέψει τη συντεταγμένη x, τη συντεταγμένη y, ή και τις δύο.
Σχηματικά:
(53)
(54)
(55)
(56)
Τώρα μπορούμε να κατασκευάσουμε τον πίνακα:
(57)
Μπορούμε να ελέγξουμε ότι αυτό το σύνολο πινάκων αποτελεί ομάδα.
Το ορίζοντας τους είναι:
(58)
det (
a
) = l m ( cos² a + sin² a ) = l m = ±1
Ελέγχουμε ότι ο αντίστροφος πίνακας είναι:
(59)
(60)
(61)
Έτσι:
(62)
από όπου:
(63)
Το SO(2) (ονομάζεται ειδική ορθογώνια ομάδα) είναι υποομάδα του O(2) (ονομάζεται ορθογώνια ομάδα), και μπορούμε να δημιουργήσουμε τους πίνακες
a
από τους πίνακες
a
μέσω:
(64)
Ενδεχομένως, πολλοί είναι περιττοί. Για παράδειγμα, αν
(64b)
(65)
που σημαίνει ότι η αλλαγή (x → -x; y → -y) είναι ισοδύναμη με μια περιστροφή κατά
π
. Δείτε την επόμενη εικόνα.
(66)
Γνωρίζουμε ότι οι πίνακες:
(67)
αντιστοιχούν σε μια απλή περιστροφή γύρω από την αρχή των συντεταγμένων O.
Ποια είναι η σημασία των πιο γενικών πινάκων:
(68)
Από:
(69)
γνωρίζουμε ότι
a
αντιστοιχεί σε δύο συνδυασμένες ενέργειες:
-
Μια συμμετρία ως προς τον άξονα OX, ή τον άξονα OY, ή και τους δύο.
-
Μια περιστροφή a γύρω από την αρχή των συντεταγμένων.
(70)
Στην εικόνα φαίνεται η σειρά των δύο ενεργειών
(Μ1 → Μ4)
Είναι προφανές ότι είναι ισοδύναμη με μια συμμετρία ως προς μια ευθεία που διέρχεται από το O
(71)
Έχουμε εμπλουτίσει την «ειδική ορθογώνια ομάδα» SO(2), που προέκυψε από την «ορθογώνια ομάδα» O(2). Έτσι ανακαλύπτουμε ότι αυτή η επεκτεταμένη ομάδα περιλαμβάνει καθρέφτικές συμμετρίες: όλες οι συμμετρίες ως προς ευθείες που διέρχονται από την αρχή των συντεταγμένων O.
(72)
Ευρετήριο Θεωρίας Δυναμικών Ομάδων