6
Συστατικά ενός ομάδας.
Έχουμε θεωρήσει δύο ομάδες: SO(2) και O(2). Η δεύτερη περιέχει την πρώτη.
Η πρώτη περιέχει το ουδέτερο στοιχείο. Μπορούμε να αναπαραστήσουμε τα στοιχεία της ομάδας ως εξής:
(73)
.
Τα στοιχεία της πρώτης συνιστώσας αποτελούν μια ομάδα (υποομάδα).
Τα στοιχεία της δεύτερης ομάδας δεν αποτελούν ομάδα, για πολλούς λόγους:
-
Δεν περιέχει
το ουδέτερο στοιχείο 1. -
Μπορούμε να επιλέξουμε δύο μήτρες από αυτή τη δεύτερη συνιστώσα, το γινόμενό τους οποίο δεν ανήκει σε αυτή τη συνιστώσα. Παράδειγμα:
(74)
Η συνιστώσα της ομάδας που περιέχει το ουδέτερο στοιχείο
1
ονομάζεται
η ουδέτερη συνιστώσα της ομάδας.
Στη συνέχεια, θα θεωρήσουμε ομάδες με 2, 4, 8 συνιστώσες.
Η ομάδα του Ευκλείδη.
Μπορούμε τώρα να ενσωματώσουμε αυτή την επεκτεταμένη, εμπλουτισμένη ομάδα στη μεταφορά στο 2D, και παίρνουμε:
(75)
καθώς και την αντίστοιχη ενέργεια αυτής της ομάδας του Ευκλείδη:
(76)
Υποθέτουμε ότι χρησιμοποιούμε την ομάδα μας για να επεξεργαστούμε, να διαχειριστούμε, να μελετήσουμε τα γράμματα του αλφαβήτου.
Περιορίζουμε το σύνολο στα:
A B C D E F G J K L N P Q R S Z
Έχουμε διάφορα μεγέθη:
(77)
A B C D E F G J K L N P Q R S Z
A B C D E F G J K L N P Q R S Z
A B C D E F G J K L N P Q R S Z
Γνωρίζουμε ότι δεν μπορούμε να βρούμε κανένα στοιχείο της ομάδας, ούτε καμία επίδραση της ομάδας, που να μπορεί να μετατρέψει:
G σε G
επειδή τα μεγέθη τους είναι διαφορετικά. Αποφασίζουμε να αποκαλέσουμε τα μεγέθη αυτά
μάζες,
ώστε το G και το G να είναι παρόμοια με σωματίδια, αντικείμενα, άτομα που διαθέτουν διαφορετικές μάζες.
Τώρα, αυτό εξαρτάται από την ομάδα που ενεργεί σε αυτό το σύνολο αντικειμένων. Αν χρησιμοποιήσω:
(78)
υποθέτουμε ότι αυτός ο «κόσμος» είναι γεμάτος με:
(79)
με ένα συγκεκριμένο φάσμα μεγεθών (μαζών) και γωνιών. Αν εφαρμόσω ενέργειες της ομάδας, όποιες κι αν είναι, δεν θα βρω ποτέ αντικείμενα που να ανήκουν στο ρωσικό αλφάβητο:
(80)
Θα γίνει δυνατό μόνο αν χρησιμοποιήσω την εμπλουτισμένη ομάδα, την ομάδα του Ευκλείδη:
(80b)
Τότε ο «κόσμος» μου θα γίνει:
(81)
Η ομάδα εμπλουτίστηκε με το «ζώο» των γραμμάτων. Αλλά στο ζώο μου, ένα γράμμα είναι αναλλοίωτο ως προς συμμετρία, δηλαδή:
(82)
(83)
(84)
(85)
Γενικά, κάθε συμμετρία ως προς οποιαδήποτε ευθεία του επιπέδου, δηλαδή ένα «2D καθρέφτη», δεν αλλάζει τη «φύση» αυτού του χαρακτήρα
(86)
Θα ονομάσω αυτόν τον χαρακτήρα ένα «φωτόνιο» και θα αποδώσω τη μετασχηματισμό
(87)
στη δυαδικότητα ύλη-αντύλη. Έτσι, παίρνω ένα γενικό ζώο:
(88)
Μπορούμε να συνδέσουμε γράμματα της ίδιας μορφής (φύσης) αλλά διαφορετικών μεγεθών (που αντιπροσωπεύουν τις ενέργειές τους), χρησιμοποιώντας την ομάδα του Δεκάρτη:
(89)
Αλλά δεν θα κατασκευάσουμε ένα πλήρες αναλογικό μοντέλο στοιχειωδών σωματιδίων βασισμένο σε γράμματα αλφαβήτου. Ωστόσο, αρχίζετε να διακρίνετε προς πού κατευθύνεται η σκέψη μας. Οι ομάδες έχουν απλές εμφανίσεις, αλλά κρυμμένες ιδιότητες. Αυτές οι ιδιότητες εξαρτώνται από τις υποομάδες τους, που δημιουργούν
είδη.
Η ομάδα του Ευκλείδη συνοδεύεται από έναν ευκλείδειο κόσμο, έναν ευκλείδειο κήπο ζώων. Τα ζώα της ευκλείδειας γεωμετρίας λέγονται σφαίρα, κύλινδρος, πρίσματα, επίπεδο, ευθεία, τρίγωνα, κ.λπ. Είναι αναλλοίωτα υπό τη δράση μιας συγκεκριμένης υποομάδας. Ο Souriau ονομάζει την υποομάδα που σχετίζεται με ένα αντικείμενο που ανήκει σε ένα είδος την
κανονικότητα
αυτού του αντικειμένου.
Για παράδειγμα, οι σφαίρες που είναι κεντρικές σε ένα δεδομένο σημείο O είναι αναλλοίωτες υπό την υποομάδα των περιστροφών γύρω από αυτό το σημείο.
-
Μπορούμε να θεωρήσουμε ότι
το γεγονός ότι είναι αναλλοίωτο είναι μια ιδιότητα του είδους που ονομάζεται «σφαίρες κεντρικές σε ένα σημείο O». -
Αντίστροφα, μπορούμε να θεωρήσουμε ότι
αυτή η ιδιότητα
ορίζει
το είδος.
Ευρετήριο Θεωρία Δυναμικών Ομάδων