7
Προσπαθούμε να κατηγοριοποιήσουμε. Η κατηγοριοποίηση βασίζεται στον ορισμό μιας είδους.
Δύο αντικείμενα που ανήκουν στην ίδια είδος έχουν κοινή ιδιότητα.
-
Πάρτε μια σφαίρα, μια συγκεκριμένη σφαίρα.
-
Αναζητήστε το υποομάδα της μεγάλης ομάδας (ομάδα Ευκλείδη) που αφήνει αμετάβλητη αυτή τη σφαίρα. Ο Souriau ονομάζει αυτή την υποομάδα την
κανονικότητα
μιας σφαίρας.
- Αναζητήστε όλα τα αντικείμενα που είναι αμετάβλητα υπό τη δράση αυτής της υποομάδας. Βρίσκετε όλες τις σφαίρες που είναι κεντρικές σε ένα δεδομένο σημείο, συμπεριλαμβανομένης της σφαίρας ακτίνας μηδέν: το σημείο.
Τότε το σημείο ανήκει στην είδος των «σφαιρών με κέντρο την αρχή».
Αντίστροφα:
-
Πάρτε ένα σημείο του τριδιάστατου χώρου.
-
Αναζητήστε την υποομάδα της ομάδας Ευκλείδη που αφήνει αυτό το σημείο αμετάβλητο. Βρίσκετε την ορθογώνια ομάδα O(3).
-
Αναζητήστε τότε όλα τα αντικείμενα που είναι αμετάβλητα υπό τη δράση των στοιχείων αυτής της υποομάδας, κατά τη στροφή γύρω από αυτό το σημείο. Βρίσκετε όλες τις σφαίρες που είναι κεντρικές σε αυτό το σημείο και συμπεραίνετε ότι αυτό το σημείο και όλες αυτές οι σφαίρες ανήκουν στην ίδια είδος.
Αντικείμενα όπως μια ευθεία, ένα επίπεδο, ένας κύλινδρος κ.λπ. μπορούν να «κατασκευαστούν» ως μια είδος που σχετίζεται με μια συγκεκριμένη υποομάδα.
Στη φυσική θέλουμε να κατηγοριοποιήσουμε τα στοιχειώδη σωματίδια. Αλλά δεν μπορείτε να πάρετε ένα σωματίδιο μεταξύ του αντίχειρα και του δείκτη και να το παρατηρήσετε με μικροσκόπιο. Μπορείτε να παρατηρήσετε μόνο τη συμπεριφορά του, την
κίνησή
του.
Πες μου πώς κινείσαι, θα σου πω τι είσαι.
Έχω έναν παλιό φίλο, τον Jean-Louis Philoche, ο οποίος είναι εξαιρετικός παίκτης σκακιού. Μπορεί να παίζει με κλειστά μάτια (στα γαλλικά «jouer à l'aveugle», χωρίς να βλέπει τον πίνακα). Αρκεί να του δώσετε την κίνηση μιας κομματιού:
b1-c3
Για μη παίκτες:
(90)
Κίνηση του ίππου
Ο Jean-Louis είναι σε θέση να απομνημονεύσει όλα αυτά στο μυαλό του. Δεν ξέρω πώς το κάνει, αλλά λειτουργεί. Αυτό αποδεικνύει ότι τα κομμάτια σκακιού δεν είναι απαραίτητα για να παίξει κανείς (ένας υπολογιστής δεν τα χρειάζεται).
Φανταστείτε ότι βρίσκεστε σε μια αίθουσα και ακούτε δύο γείτονες που παίζουν «ένα παιχνίδι». Δεν τους βλέπετε, αλλά ακούτε όταν ανακοινώνουν τις κινήσεις τους.
b2-b3
b7-b5
και ούτω καθεξής...
Σκέφτεστε: κινούν κάτι. Ποιο είναι αυτό το παιχνίδι; Παίρνετε έναν πίνακα, τοποθετείτε μικρές λίθους πάνω του και σημειώνετε τις διαδοχικές κινήσεις σε ένα χαρτί. Ονομάστε C τον δείκτη στήλης και L τον δείκτη γραμμής. Μια κίνηση αντιστοιχεί σε:
( D C , D L )
Αν |DC| = 1 και |DL| = 1: αυτό αντιστοιχεί σε κίνηση βασιλιά.
Αν |DC| = |DL|: αυτό αντιστοιχεί σε κίνηση αξιωματικού (κατά μήκος μιας διαγωνίου).
Αν |DC| × |DL| = 0: αυτό αντιστοιχεί σε κίνηση πύργου.
Αν |DC × DL| = 3: αυτό αντιστοιχεί σε κίνηση ίππου.
Αν DL είναι αυστηρά θετικό, αντιστοιχεί σε λευκό πιόνι. Αν DL είναι αυστηρά αρνητικό, αντιστοιχεί σε μαύρο πιόνι.
Και ούτω καθεξής. Κατασκευάζουμε μια κατηγοριοποίηση «αντικειμένων»
βασισμένη στη συμπεριφορά τους
.
Μια άλλη εικόνα. Έχετε μια κουτί με ανακατεμένα βίδες. Θέλετε να τις κατηγοριοποιήσετε. Τι χρειάζεστε; Διαφορετικές γαντζώσεις.
(91)
-
Πάρτε μία βίδα.
-
Αναζητήστε τη γαντζώσα που ταιριάζει σε αυτή.
-
Επιλέξτε όλες τις βίδες που ταιριάζουν σε αυτή τη γαντζώσα. Παίρνετε μια είδος βίδων.
Ορθογώνια ομάδα
O(3).
Μπορούμε να επεκτείνουμε ό,τι είπαμε παραπάνω στο 2Δ στο 3Δ. Γνωρίζουμε πώς να κάνουμε μια στροφή σε τρισδιάστατο χώρο, ως προς ένα σταθερό σημείο, την αρχή των συντεταγμένων. Εξαρτάται από τρεις γωνίες a, b, g, που ονομάζονται γωνίες Ευληρίου. Δεν θα γράψουμε μια τέτοια μήτρα, αλλά θα τη συμβολίσουμε απλώς:
(92)
det ( a ) = + 1
Πρόκειται για μια ορθογώνια μήτρα:
(92b)
Η ορθογώνια ομάδα O(3) αποτελείται από όλες τις ορθογώνιες μήτρες, συμπεριλαμβανομένων εκείνων που έχουν ορίζουσα -1. Ονομάζουμε αυτές τις μήτρες (93)
Όπως στην προηγούμενη ενότητα, μπορούμε να πάρουμε όλες τις ορθογώνιες μήτρες από τη SO(3) μέσω:
(94)
L είναι η διαγώνια μήτρα:
(95)
(96)
Όλα αυτά είναι πλεονάζοντα. Αλλά εμφανίζουν αμέσως τις βασικές συμμετρίες.
(97)
(98)
(98b)
(99)
Υπάρχουν «μήτρες καθρέφτη» που αντιστρέφουν την κατεύθυνση των αντικειμένων, μετατρέποντάς τα στην εικόνα τους σε έναν καθρέφτη:
(100)
Δώστε ένα παράδειγμα κατευθυνόμενων αντικειμένων, των οποίων η κατεύθυνση αντιστρέφεται από αυτή τη συμμετρία καθρέφτη:
(101)
Πρόκειται για την επιφάνεια που εφεύρε ο Werner Boy, φοιτητής του Hilbert. Θα δοθεί ιδιαίτερη προσοχή σε αυτό το ενδιαφέρον αντικείμενο στην ενότητα του ιστολογίου που αφιερώνεται στα μαθηματικά. Έχουμε αφαιρέσει μέρος της επιφάνειας για να δείξουμε το τριπλό σημείο T.
Μπορείτε να ονομάσετε ένα από αυτά τα αντικείμενα «δεξί» ή «αριστερό». Κανείς δεν έχει ποτέ υποδείξει ποια είναι η κίνηση στροφής «δεξιά» της επιφάνειας του Boy. Τουλάχιστον: γιατί να στρέψει κανείς την επιφάνεια του Boy; Ορισμένοι υποστηρίζουν ότι μπορεί να πετάξει, αλλά είμαι ύποπτος.
Στη συνέχεια:
(102)
(103)
(104)
Όπως στη γεωμετρία 2Δ (συμμετρία ως προς την αρχή), η συμμετρία ως προς τον άξονα x είναι ισοδύναμη με μια στροφή κατά
π
.
Τέλος:
(105)
που αλλάζουν την κατεύθυνση των αντικειμένων.
Ευρετήριο Θεωρία Ομάδων Δυναμικών
Πρωτότυπη έκδοση (αγγλικά)
7
We search to classify. Classification is based on the defnition of species.
Two objects which belong to the same species have some common property.
-
Take a sphere, a peculiar sphere.
-
Look at the sub-group of the grand group ( Euclid's group ) which keeps this sphere invariant. Souriau calls such sub-group the
regularity
of a sphere.
- Search all the objects which are invariant through the action of this sub-group. You find all the spheres centered on a given point, Including the zero-radius shere : the point.
Then the point belongs to the species of "spheres centered around the origin".
Conversely :
-
Take a point of a three-dimensional space.
-
Look at the sub-group of Euclid's group which keeps this point invariant. You find the orthogonal group O(3).
-
Then search all the objects which are invariant through the action of the elements of this sub-groups, under rotation around this point. You find all the spheres centered on this point and conclude that this point and all these spheres belong to a same species.
Objects like a straight line, a plane, a cylinder, etc..... can be "built" as a species linked to some peculiar sub-group.
In physics we want to classify elementary particles. But you cannot take a particle between your thumb and index and look at it through a magnifying glass. The just can observe its behaviour, its
movement
.
Tell be how you move, I will tell you what you are.
I have an old good friend, Jean-Louis Philoche, who is a fine chess player. He can play blind ( en français "jouer à l'aveugle", sans voir l'échiquier ). . You just have to indicate to him the movement of a piece ( une pièce de jeu ) :
b1-c3
For non-players :
(90)
Horse's move
Jean-Louis is able to memorize all that in his head. I don't know how he does, but it works. It proves that chess pieces are not necessary to play ( a computer does not use it ).
Imagine you are in a room and you hear two neighbourings who play "some game". You don't see them but you hear when the announce their moves.
b2-b3
b7-b5
and so on.....
You think : they move something. What's the game ? You take a boad, put small stones on it, and notice their successive moves on a sheet of paper. Call C the column indix and L the line indix. A move corresponds to :
( D C ,
D L )
If I DC I ? 1 and I DL I ? 1 : This refers to a king's move.
If I DC I = I DL I: this refers to a bishop's move ( along a diagonal ).
If I DC I x I DL I = 0 : This refers to a tower's move.
If I DC x DL I = 3 : this refers to a horse's move.
If DL is strictly positive, this refers to white pawn. If is strictlty negative, it refers to a black pawn.
An so on. We build a classification of "objects"
based on their behaviour
.
Another image. You have a box, with mixed bolts. You want to classify these bolts. What to you need ? Different nuts.
(91)
-
Take a bolt.
-
Search the nut that fits it.
-
Select all the bolts that fit this nut. You get a species of bolts.
Orthogonal group
O(3).
We can extend what was said above in 2d to 3d context. We know how to make a rotation in a 3d space, with respect to a fixed point, origine of coordinates. It depends on three angles a , b , g , called Euler's angles. We won't write such a matrix, just write it :
(92)
det (
a
) = + 1
It is an orthogonal matrix :
(92b)
The orthogonal group O(3) is composed by all orthogonal matrixes, including those whose determinant is = - 1 . We call these matrixes (93)
As in preceding section we can obtain all the orthogonal matrixes, from the SO(3), through :
(94)
Lbeing the diagonal matrix :
(95)
(96)
All this is redundant. But it makes appear immediatly the basic symmetries.
(97)
(98)
(98b)
(99)
There are "mirror matrixes" which reverse the orientation of the objects, transform these objects into their image in a mirror :
(100)
Give an example of oriented objects, whose orientation is reversed through this mirror symmetry :
(101)
This is the surface invented by Werner Boy, a student of Hilberth. Attention will be paid to this interesting object in the section of the site devoted to mathematics. We have removed a portion of the surface in order to show the triple point T.
You can call any of these object "right" or "left". Nobody has never indicated what was the right rotation movement of of Boy's surface. Anyway : to make a Boy's surface to turn : why ? Some pretend it can fly, but I am skeptical.
Next :
(102)
(103)
(104)
As in 2d geometry (symmetry with respect to the origin ) the symmetry with respect to ax axis is equivalent to a rotation of
p
.
Finally :
(105)
which change the orientation of objects.
Index Dynamic Groups Theory