9
Σχετικά με τα συστατικά της ομάδας.
Το O(2) είναι μία ομάδα που αποτελείται από δύο συστατικά:
-
Το ουδέτερο συστατικό
(ένα υποομάδα SO(2) που περιέχει το ουδέτερο στοιχείο 1). -
Τα υπόλοιπα στοιχεία.
Αν δημιουργήσουμε μία ευκλείδεια ομάδα σε δύο διαστάσεις από το O(2):
(112)
αυτή η ομάδα διαθέτει δύο συστατικά. Το ουδέτερο συστατικό της κατασκευάζεται από τα στοιχεία του SO(2).
(113)
Την ονομάζουμε
ειδική
ευκλείδεια ομάδα: με αυτή την ομάδα δεν μπορούμε να αντιστρέψουμε την κατεύθυνση μίας «γράμματος», όπως το R.
Η ευκλείδεια ομάδα που διαθέτει τα δύο συστατικά ονομάζεται
πλήρης ομάδα
.
Σε σχέση με την ειδική ομάδα, υποομάδα της πλήρους ευκλείδειας ομάδας:
(114)
ανήκουν σε δύο διακριτές κατηγορίες, επειδή δεν μπορούμε να βρούμε στοιχείο
g
EO
αυτής της ομάδας GSE (ή SE(2)) που να μετατρέψει το πρώτο γράμμα στο δεύτερο και αντίστροφα.
Σε σχέση με την πλήρη ομάδα, αυτά τα δύο γράμματα ανήκουν στην ίδια κατηγορία, επειδή υπάρχει ένα στοιχείο
g E
της ομάδας G
E (συμμετρία, που ανήκει στο δεύτερο συστατικό) που μπορεί να μετατρέψει ένα από τα δύο γράμματα στο άλλο.
Όμοια, η ευκλείδεια ομάδα σε τρεις διαστάσεις (η «πλήρης» ευκλείδεια ομάδα):
(115)
διαθέτει δύο συστατικά. Το πρώτο, το
ουδέτερο
συστατικό, είναι μία υποομάδα που αποτελείται από τα στοιχεία του SO(3):
(116)
Το ουδέτερο αυτό συστατικό το ονομάζουμε ειδική ευκλείδεια ομάδα SE(3). Σε σχέση με αυτή την ομάδα, μία δεξιά χείρα και μία αριστερή χείρα ανήκουν σε διακριτές κατηγορίες, επειδή δεν υπάρχει στοιχείο
g
SE
της ομάδας G
SE
που να μετατρέψει μία αριστερή χείρα σε δεξιά, και αντίστροφα.
Σε σχέση με την πλήρη ομάδα, ανήκουν στην ίδια κατηγορία.
Σύντομη παρατήρηση:
Όταν ένας άνθρωπος κοιτάζει την εικόνα του σε έναν καθρέφτη, βλέπει ότι η αριστερή του χείρα και η δεξιά ανταλλάσσονται. Αλλά γιατί δεν ανταλλάσσονται και η κεφαλή και τα πόδια;
Η απάντηση δίνεται από τον Γάλλο μαθηματικό J.M. Souriau:
(116b)
Άλλη παρατήρηση, πιο τεχνική. Από την κατευθυνόμενη ευκλείδεια ομάδα είναι δυνατό να κατασκευαστεί η πλήρης ευκλείδεια ομάδα, χρησιμοποιώντας ένα βαθμωτό l = ± 1
(116c)
τα στοιχεία για τα οποία l = -1 ανήκουν στο δεύτερο συστατικό και «αντιστρέφουν το χώρο», μετατρέπουν τα αντικείμενα στις εναντιόμορφές τους εικόνες.
Επέκταση στην 4διάστατη ομάδα PT.
Ξεκινώντας από την ειδική ορθογώνια ομάδα:
(118)
κατόπιν κατασκευάζουμε την ομάδα PT με χρήση πινάκων (4,4):
(119)
Είναι μία ομάδα με τέσσερα συστατικά (l = ± 1 ; m = ± 1).
Αυτή η ομάδα δρα στο χωροχρόνο μέσω της ακόλουθης ενέργειας:
(120)
Παρατηρήστε ότι θα μπορούσαμε να τη γράψουμε:
(121)
Αλλά αυτό δεν αλλάζει τίποτα, επειδή η βασική ενέργεια δεν αλλάζει.
Μεταξύ αυτών των τεσσάρων συστατικών, έχουμε το ουδέτερο συστατικό, την (χώρος κατευθυνόμενος, χρόνος κατευθυνόμενος).
(122)
Έχουμε:
(123)
Παρατηρήστε ότι:
(124)
Το g
SOTO
είναι επίσης ένας ορθογώνιος πίνακας. Οι ορθογώνιοι πίνακες ορίζονται από αυτή την αξιωματική ιδιότητα.
Παρατηρήστε ότι θα χρησιμοποιήσουμε ευρέως τις αξιωματικές ιδιότητες των ειδικών πινάκων, πολύ περισσότερο από τους ίδιους τους πίνακες. Για την ομάδα SO(2) γράψαμε εκτελεστικά τους πίνακες. Αλλά για SO(3) και O(3) δεν θα το κάνουμε, επειδή δεν θα ήταν αναγκαίο και θα έκανε τους υπολογισμούς περιττά περίπλοκους. Είναι πολύ πιο αποτελεσματικό και ευφυές να χρησιμοποιήσουμε τις αξιωματικές ιδιότητες των πινάκων της ομάδας.
Προλαμβάνοντας, θεωρήστε τους πίνακες που ορίζονται από:
(125)
όπου:
(126)
Σε μορφή διαγώνιου πίνακα:
(127)
Επιπλέον:
(128)
Δείξτε ότι αυτοί οι πίνακες αποτελούν μία ομάδα.
Θεωρήστε:
(129)
και κατασκευάστε:
(130)
Τότε το γινόμενο τέτοιων γενικευμένων πινάκων Lorentz υπακούει στο αξίωμα.
Δείξτε ότι ο αντίστροφος πίνακας ανήκει στην ομάδα:
(131)
Υπολογίστε τον αντίστροφο πίνακα.
(132)
(132b)
αντιστοιχεί στην ειδική περίπτωση:
(132c)
Η μορφή αυτού του πίνακα αντιστοιχεί στη μετρική του χωροχρόνου (όπως θα δούμε ξανά, με τους πίνακες Lorentz, πιο κάτω, στην αντιμετώπιση του σχετικιστικού κόσμου).
(133)
είναι ένας διάνυσμα χωροχρόνου
Η σχέση αντιστοιχεί στη βασική τετραγωνική μορφή:
(134)
με:
(134b)
που δίνει:
(135)
ds² = dx⁰² + dx² + dy² + dz²
x⁰ = ct είναι μία «χρονολογική μεταβλητή».
Αυτό αντιστοιχεί σε ευκλείδειο χωροχρόνο, όπου η ταχύτητα:
(136)
δεν είναι περιορισμένη.
Δείκτης Θεωρία Ομάδων Δυναμικών
Πρωτότυπη έκδοση (αγγλικά)
9
About components of the group.
O(2) is a group composed by two components :
-
Its neutral component
( a sub-group SO(2) which contains the neutral element 1 ). -
The rest of the elements.
If we form a 2d Euclid'd group from O(2) :
(112)
this group owns two components. Its neutral component is built with the SO(2) element.
(113)
We call it
Special
Euclid's group : we cannot, with this group, reverse the orientation of a "letter", like R.
The Euclid's group with its two components is called the
complete group
.
With respect to the special group, sub-group of the complete Euclid's group :
(114)
belong to two distinct species, because we cannot find any element
g
EO
of this group GSE ( or SE(2) ) which can change the first letter into the second, and vice-versa.
With respect to the complete group, these two letters belong to the same species, for there is an element
g E
of the group G
E ( symmetry, which belong to the second component ) which can change one of these two letters into the other.
Similarly the 3d Euclid's group ( the "complete" Euclid's group ) :
(115)
has two components. The first, the
neutral
one, is a sub-group formed with the element of SO(3) :
(116)
We call this neutral component the Special Euclid's group SE(2). With respect to this group a right hand and a left hand belong to distinct species, for there is no element
g
SE
of G
SE
which can transform a left hand into a right hand, and vice-versa.
With respect to the complete group they belong to the same species.
A short remark :
When a man looks at his image in a mirror, he sees that his left hand and raight hand are exchanged. But why his head and feet are not exchanged too ?
The answer is given by the french mathematician J.M. Souriau :
(116b)
Another remark, more technical. From the oriented Euclid's group it is possible to build the complete Euclid's group, using a scalar l = ± 1
(116c)
l = - 1 terms of the group belong to the second component and "reverse space", transform objects into their enantiomorphic image.
Extension to 4d PT-group.
Let us start from the special orthogonal group :
(118)
and then build the PT-group through (4,4) matrixes :
(119)
It is a four-components group ( l = ± 1 ; m = ± 1 ).
This group acts on space time through the following action :
(120)
Notice we could write it :
(121)
But it does not change anything, for the basic action is not changed.
Amont these four components we have the neutral component, the ( Space oriented , time-oriented group ).
(122)
We have :
(123)
Notice that :
(124)
g
SOTO
is also an orthogonal matrix. Orthogonal matrixes are defined through this axiomatric property.
Notice that we are largely going to use the axiomatic properties of peculiar matrixes, much more than the matrixes themselve. With teh SO(2) group we have written the matrixes explicitely. But for SO(3) and O(3) we won't, for it will not be not necessary and would make the calculations unecessarly complicated. It is much more efficient and elegant to use the axiomatic properties of the matrixes of the group.
Anticipating, consider the matrixes defined by :
(125)
where :
(126)
As a diagonal matrix :
(127)
In addition :
(128)
Show that these matrixes form a group.
Consider :
(129)
and form :
(130)
Then the product of such
generalized Lorentz matrixes
obeys the axiom.
Show that the inverse matrix belongs to the group :
(131)
Compute the inverse matrix.
(132)
(132b)
corresponds to peculiar case :
(132c)
The form of this matrix corresponds to the metric of space-time (as will be considered again, with Lorentz-matrixes, further, dealing with relativistic world).
(133)
being space-time vector
The link corresponds to the elementary quadratic form :
(134)
with :
(134b)
this gives :
(135)
ds 2
= dx°
2
-
dx 2
-
dy 2
-
dy 2
x° = ct being a "chronological variable".
This corresponds to a euclidean space-time, where the velocity :
(136)
is unlimited.
Index Dynamic Groups Theory