RECREACIONES GEOMÉTRICAS
Representación poliédrica de un punto cúspide, cálculo de su curvatura concentrada.
Representaciones poliédricas de diferentes superficies.
Permutación de los puntos cúspides de una Cross cap.
Transformación de una superficie de Boy "derecha" en superficie de Boy "izquierda", pasando por la superficie Romana de Steiner.
Inversión "derecha"- "izquierda" de una superficie de Boy.
Jean-Pierre Petit
Director de Investigación del CNRS
1988-1999 ---
Resumen:
Se presentan algunos elementos que permiten representar puntos de curvatura concentrada: "posicónes", "negacónes" y sus equivalentes poliédricos: "posicoines" y "negacoines", que permiten construir representaciones poliédricas de diversas superficies y recuperar su curvatura total. Así, la representación poliédrica de la superficie Romana de Steiner está compuesta por cuatro cubos unidos por sus aristas, lo que la hace más comprensible. Una representación poliédrica de la superficie de Boy ya había sido dada en el Topologicon, 1985, Ediciones Belin, páginas 48 y 49, en forma de recorte para armar. En la página 46 también aparecían representaciones poliédricas del toro y la botella de Klein. Se ofrecen representaciones poliédricas de la Cross-Cap. La curvatura total de las diferentes inmersiones del plano proyectivo en R³: superficie de Boy, Cross-Cap, superficie Romana de Steiner, vale 2π. La representación poliédrica de los puntos cúspides, considerados como puntos de curvatura concentrada, permite calcular esta curvatura de forma muy sencilla. La Cross-Cap, la superficie Romana de Steiner y la superficie de Boy se presentan como "los múltiples rostros" de un único objeto: el plano proyectivo. Como esto no es evidente a simple vista, se construyen transformaciones geométricas que permiten pasar de una a otra. Se parte de la Cross-Cap y se transforma en la superficie Romana de Steiner creando dos puntos cúspides adicionales (es decir, se aplica, en este sentido, la modificación genérica "creación-decreación de puntos cúspides"), y luego se transforma la superficie de Steiner en superficie de Boy mediante la fusión de pares de puntos cúspides. Accidentalmente, al utilizar el hecho de que el embebido estándar de la esfera puede transformarse en su embebido antipodal (giro de la esfera), se demuestra que los dos puntos cúspides de una Cross-Cap pueden intercambiarse mediante una sucesión de inmersiones, ilustrando así que estos dos puntos son equivalentes.
PRÓLOGO:
El lector encontrará aquí elementos generales que también se encuentran en la introducción de FÍSICA GEOMÉTRICA A (definición de posicoines, negacoines, etc.). Si desea omitir este apartado, solo tiene que [hacer clic aquí](#POSICOINES Y NEGACOINES).
Si trazamos en un plano un triángulo formado por segmentos rectos, la suma de los ángulos en los vértices vale π. Estas rectas del plano pueden obtenerse de otra forma: pegando sobre la superficie tiras de cinta adhesiva cualquiera, sin hacer pliegues. A estos recorridos del plano los llamamos geodésicas. Podemos trazar curvas geodésicas sobre cualquier superficie mediante este procedimiento, por ejemplo sobre el ala de un automóvil o sobre su capó.
Figura 1: Un triángulo considerado como un conjunto de tres geodésicas del plano
POSICOINES Y NEGACOINES
Hagamos un corte en un plano y unamos los dos bordes, luego tracemos un triángulo con nuestra cinta adhesiva, compuesto por tres geodésicas de este cono.
Figura 2: Construcción de un posicón.
Al separar los dos bordes de la superficie, según el corte realizado anteriormente (figura 3), se observará fácilmente, usando un transportador, que la suma de los ángulos A, B y C es igual a π más el ángulo del corte α. Esta desviación respecto a la suma euclidiana la llamaremos curvatura, y diremos que el triángulo "contiene" cierta cantidad de curvatura angular α. Esta desviación será la misma para cualquier triángulo que contenga el vértice del cono. Si no lo contiene, la suma será π. Diremos que la curvatura está concentrada en el vértice M del cono, que entonces es un "punto de curvatura concentrada". Como la suma de los ángulos es mayor que la suma euclidiana, diremos que esta curvatura es positiva. Así, un plano sería, desde esta perspectiva, una superficie de curvatura nula.
Figura 3: El posicón extendido sobre el plano.
Esta curvatura es aditiva. Si pega juntos varios de estos conos correspondientes a ángulos α, β, γ, podrá trazar todo tipo de triángulos formados por arcos geodésicos. Si el triángulo rodea tres puntos correspondientes a curvaturas concentradas iguales a α, β, γ, entonces la suma de sus ángulos en los vértices será: π + α + β + γ.
Se puede considerar una superficie de curvatura positiva como una esfera como un conjunto de infinitos "posicoines". En lugar de tener curvatura concentrada en distintos puntos, tendremos una curvatura distribuida uniformemente sobre toda la superficie. Diremos que la esfera es una superficie de "curvatura constante" (o de "densidad de curvatura angular constante").
Fig. 4: Un triángulo formado por tres arcos geodésicos.
En la esfera, las geodésicas son "círculos máximos". El ecuador y los meridianos son círculos máximos, son arcos geodésicos de la esfera. Pero no logrará crear un paralelo con una cinta adhesiva. Los paralelos no son geodésicas de la esfera. La suma de los ángulos en los vértices de un triángulo trazado sobre una esfera depende de la relación entre el área del triángulo y el área de la esfera. La suma de los ángulos de un triángulo muy pequeño será muy cercana a π.
Un triángulo cuya superficie fuera un octavo de la superficie de la esfera tendría una suma
A + B + C = 2π
Un círculo máximo de la esfera puede considerarse como un "triángulo", siempre que coloquemos sus tres vértices... en cualquier lugar sobre ese círculo. La suma A + B + C valdrá 3π. Contiene la mitad de la superficie de la esfera.
¿Cuál es la desviación máxima? No podemos decir "ampliemos" el triángulo más allá de este círculo máximo, porque más allá la longitud de los arcos geodésicos que forman sus lados disminuiría y tendería incluso a cero.
Cuando hemos rodeado toda la superficie de la esfera obtenemos
A + B + C = 5π = π + 4π
Diremos que la curvatura total de la esfera vale 4π.
Fig. 5: Suma de los ángulos. Triángulo formado por arcos geodésicos de la esfera.
La cantidad de curvatura contenida en un triángulo corresponde a una simple regla de tres:
Ahora crearemos un "negacón", insertando esta vez un sector angular α en un plano, como se indica en la figura 6.
Fig. 6: Un "negacón"
Cuando se elimina el sector angular se obtiene esto:
Fig. 7: El negacón extendido sobre el plano.
La suma de los ángulos del triángulo vale A + B + C = π - α
Diremos que esta superficie es un negacón que posee un punto de curvatura concentrada, negativa. Esta curvatura también es aditiva. Al componer una superficie con una yuxtaposición de mini posicoines y mini neg...