Una nueva axiomática de los grupos **
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...Souriau vive en un apartamento en el viejo Aix. La puerta que da a la calle es espléndida. En el recibidor hay aparcado un vehículo bastante singular: una litera antigua, propiedad de la dueña de casa, una joven, arqueóloga, creo yo. La litera está apoyada en la pared. Solo falta encontrar dos portadores, meter los dos largos listones de madera en los anillos y sentarse para dar una vuelta. Las aberturas están acristaladas: las ventanas laterales se pueden bajar, no mediante una manivela, sino manipulando correas de cuero, como ocurría en los compartimentos de los trenes de mi infancia.
...Todo esto es tan soñador. Me doy cuenta de que nunca he viajado en una litera. Estoy convencido, en tiempos de desempleo, que muchas personas podrían ganarse la vida montando la primera línea regular de literas en el viejo Aix. Bastaría con construir un vehículo que imitara las literas antiguas. No debe ser muy difícil. Luego, conseguir dos trajes bordados, dos pelucas y a la obra. Recorrido: el Cours Mirabeau. Eso bastaría ampliamente. Después, solo haría falta soñar, tener un poco de imaginación.
...Jean-Marie vive solo con su gato, Pioum, en su amplio apartamento, lleno de dorados y paneles. Pioum es encantador. Aunque no tengo mucha predilección por los gatos. Pero este es extremadamente acogedor y afectuoso.
Normalmente trabajamos en la cocina, una planta más arriba. Una pequeña habitación bajo el techo, cuya estrechez contrasta con el tamaño imponente de las habitaciones de abajo. Cada vez que Jean-Marie intenta hacerme beber su bebida favorita: el Fernet-Branca, a base de alcachofa, que encuentro positivamente desagradable, pero que él atribuye a todas las virtudes.
...Cuando da una vuelta por la ciudad, lleva su GPS, que nunca lo abandona. Es realmente fascinante sentirse guiado por satélites situados a cuarenta mil kilómetros de la calle por la que caminamos. Para obtener una mejor recepción, Souriau tiende a caminar en el eje de la calle, con la mirada fija en la pantalla de cristal líquido. Efectivo, parece, pero aún así relativamente peligroso.
...Me parece que nos divertimos bastante, los dos. Una noche de diciembre, pasé a visitarlo, y tuvimos la siguiente conversación.
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Te hablaré de grupos. ¿Te acuerdas de los axiomas?
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Sí, hay seis. Son:
1 - Existen elementos a, b, c... pertenecientes a un conjunto E.
2 - Existe una operación interna, denotada o ("redondo"), que permite combinar dos elementos de un conjunto.
a pertenece al conjunto E.
b pertenece al conjunto E.
a o b pertenece al conjunto E.
3 - Esta operación es asociativa:
a o b o c = ( a o b ) o c = a o ( b o c )
4 - Existe un elemento neutro e tal que:
a o e = e o a = a
5 - Todo elemento a del conjunto tiene un recíproco, denotado a⁻¹, tal que:
a⁻¹ o a = a o a⁻¹ = e
¿Eso hace cinco?
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Finalmente, cinco, cuatro o uno. No hay regla absoluta en cuanto a la numeración de los axiomas. Podríamos igualmente agrupar los axiomas 1 y 2 en uno solo:
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Existen elementos a, b, c, etc., pertenecientes a un conjunto E, dotado de una ley de composición interna que satisface:
a pertenece al conjunto E.
b pertenece al conjunto E.
a o b pertenece al conjunto E.
Es equivalente.
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Bien, cinco, cuatro, da igual. ¿A dónde quieres llegar?
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Voy a eliminar lo que llamaste axiomas 4 y 5, definiendo el elemento neutro y el recíproco, reemplazándolos por el axioma del sándwich. En total, los axiomas son:
1 - Existen elementos a, b, c... pertenecientes a un conjunto E.
2 - Existe una operación interna, denotada o ("redondo"), que permite combinar dos elementos de un conjunto.
a pertenece al conjunto E.
b pertenece al conjunto E.
a o b pertenece al conjunto E.
3 - Esta operación es asociativa:
a o b o c = ( a o b ) o c = a o ( b o c )
4 - Sean tres elementos a, b, c, pertenecientes al conjunto E.
Sea la ecuación:
a o y o b = c
Tiene una solución única.
A esto lo llamo axioma del sándwich, donde el "jamón" y está entre los elementos a y b, y c es la entidad sándwich. El axioma significa:
Siempre se puede sacar el jamón de un sándwich.
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Y digo que estos axiomas definen los grupos, son equivalentes a los anteriores.
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Esta solución única y es elemento del conjunto E, ya que la operación es interna y asociativa.
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Por supuesto, va sin decir.
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Pero aún mejor si se dice. No sé cómo vas a proceder para recuperar los dos axiomas referentes al elemento neutro y a la existencia del recíproco, pero al menos entiendo qué te llevó a esta idea.
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Me pregunté: ¿para qué sirve?
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Exactamente. ¿Para qué sirve tener un elemento neutro? En sí mismo, significa "si tengo un conjunto E y un elemento neutro, puedo componer todos los elementos de este conjunto con él y obtener lo mismo". Me da igual. Lo mismo con el inverso como tal: ¿para qué sirve? Cuando hacemos cálculos sobre grupos, sobre cualquier cosa, siempre nos arreglamos, multiplicando a derecha o a izquierda por elementos o su inverso para hacer aparecer a o a⁻¹ o a⁻¹ o a, que sustituimos por e, y luego b o e o e o b, que sustituimos por b. Tu axioma del sándwich es "funcional".
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Si quieres. Pasemos a los teoremas que derivan del axioma del sándwich. El primero es:
I - Existe un elemento neutro que, compuesto consigo mismo, da a sí mismo:
e = e o e
II - Este elemento neutro es único.
Demostración:
Partamos del axioma del sándwich. La ecuación
a o y o b = c
tiene una solución y única.
También es cierto si b = c = a, por lo tanto
a o y o a = a
tiene una solución única. Multipliquemos a la derecha por y:
a o y o a o y = a o y
Llamemos a o y = e
...Es un elemento del conjunto, ya que a y y pertenecen al conjunto y la operación es interna. Por tanto, existe un elemento del conjunto tal que:
e o e = e
...El teorema I está demostrado. Pasemos a la unicidad, al teorema II. Si no hubiera unicidad, existiría otro elemento del conjunto, llamémoslo f, que obedeciera:
f o f = f
Tenemos:
e o e = e
Multipliquemos a la derecha por f:
e o e o f = e o f
Volvamos a multiplicar a la derecha por e:
e o e o f o e = e o f o e
Utilicemos la asociatividad:
e o ( e o f ) o e = e o f o e
Son dos sándwiches. Llamémoslos:
p = e o ( e o f )
q = e o f o e
...Según el axioma del sándwich, podemos "extraer el jamón", es decir, calcular las expresiones de ( e o f ) y f, que serán iguales, ya que p = q. Por tanto:
( e o f ) = f
...Repetimos partiendo de la proposición atribuida a este segundo elemento f:
f o f = f
...Multipliquemos a la derecha por e, dos veces a la izquierda:
e o f o f = e o f
e o e o f o f = e o e o f
...Utilicemos la asociatividad:
e o ( e o f ) o f = e o e o f
...Utilizando una segunda vez el axioma del sándwich, deducimos que:
e o f = e
por tanto:
e = f
Teorema III: Si tomo este elemento e "igual a su cuadrado", implica que:
a o e = a
Demostración:
Siempre usamos el axioma del sándwich. Partimos de la definición de e:
e o e = e
multiplicamos sucesivamente a la derecha por a y por e:
e o e o a o e = e o a o e
Hagamos actuar la asociatividad:
e o ( e o a ) o e = e o a o e
Por tanto:
e o a = a
Partiendo de:
e o e = e
y multiplicando sucesivamente a la izquierda por a y por e:
e o a o e o e = e o a o e
y haciendo actuar la asociatividad:
e o ( a o e ) o e = e o a o e
de donde:
a o e = a
El teorema III está demostrado.
Pasemos al teorema IV
(existencia de un recíproco, denotado a⁻¹).
Enunciado: sea un elemento del conjunto. Existe un elemento y solo uno, solución de la ecuación:
a o y o a = a
Llamaremos a este elemento a⁻¹ y lo llamaremos recíproco de a. Este elemento satisface las propiedades:
a o a⁻¹ = e
a⁻¹ o a = e
Demostración.
La existencia y unicidad de este elemento es una simple consecuencia del axioma del sándwich cuando se formula así:
Cuando las rebanadas de pan son idénticas entre sí e idénticas al sándwich, entonces el jamón es el recíproco de la rebanada de pan (o del sándwich).
a o y o a = a
Podemos hacer actuar la asociatividad de dos formas:
( a o y ) o a = a
a o ( y o a ) = a
Sabemos que:
e o a = a
a o e = a
Por tanto, la solución y satisface:
a o y = e
y o a = e
Demostramos que esta solución es única. Si no lo fuera, tendríamos otra:
a o z = e
z o a = e
Multiplicamos la primera ecuación por y a la izquierda:
y o a o z = y o e
( y o a ) o z = y
pero y o a = e, por tanto:
z = y
Llamamos a esta solución a⁻¹, solución de la única ecuación:
a o a⁻¹ o a = a
Así, el nuevo conjunto de axiomas conduce a las mismas propiedades que, clásicamente, definen los grupos.
Por tanto, se puede definir los grupos mediante este nuevo conjunto de axiomas:
Definición de un grupo.
1 - Existen elementos a, b, c... pertenecientes a un conjunto E.
2 - Existe una operación interna, denotada o ("redondo"), que permite combinar dos elementos de un conjunto.
a pertenece al conjunto E.
b pertenece al conjunto E.
a o b pertenece al conjunto E.
3 - Esta operación es asociativa:
a o b o c = ( a o b ) o c = a o ( b o c )
4 - Sean tres elementos a, b, c, pertenecientes al conjunto E.
Sea la ecuación:
a o y o b = c
Tiene una solución única.
Si los elementos del conjunto E, provisto de su operación de composición interna, satisfacen estos cuatro axiomas, digo que forman un grupo.
Teorema: El elemento neutro es su propio recíproco. Esta nueva definición del elemento neutro, mediante una sola ecuación, genera una demostración diferente de esta propiedad.
e o e = e
Es la definición del elemento particular e. Pero el axioma del sándwich hace que esta ecuación se identifique con la propiedad (y no con la definición) del recíproco.
Otro teorema: el recíproco del recíproco es igual al elemento mismo:
( a⁻¹ )⁻¹ = a
a⁻¹ o a = e
a o a⁻¹ = e
a es el inverso de a⁻¹. De ahí se deduce la propiedad.
Demostramos que:
( a o b )⁻¹ = b⁻¹ o a⁻¹
Calculamos:
a o b o b⁻¹ o a⁻¹ y b⁻¹ o a⁻¹ o a o b
Demostramos que estas dos cantidades son iguales a e.
a o ( b o b⁻¹ ) o a⁻¹
= a o e o a⁻¹
= a o a⁻¹
= e
Igual para la otra expresión.
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Es un enfoque distinto del concepto de grupo.
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La ontología de los grupos.
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Si quieres.
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Pero algo me dice que esta idea podría resultar fecunda.
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Ahora, olvida todo, incluso el axioma del sándwich. Consideremos un conjunto E provisto de una operación de composición interna o asociativa. Supongamos que en este conjunto existe un elemento que, compuesto con todos los demás, desempeña el papel de elemento neutro:
a o e = e o a = a - ¿Es único?
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Si existe, necesariamente es único, se puede demostrar.
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Ah, sí, es cierto.
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Diré que dos elementos a y b están relacionados por una relación de reciprocidad si
a o b = b o a = e
Si se da a, b es su recíproco. Digo que si limitamos el conjunto al subconjunto de elementos que poseen un recíproco, este subconjunto forma un grupo. Es una forma de construir grupos. Es decir, seleccionamos del conjunto los elementos que satisfacen esta propiedad y digo que eso basta para afirmar que este subconjunto forma un grupo.
Hay que demostrar que esta propiedad es interna.
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¿Qué quieres decir?
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Sean dos elementos a y a' que satisfacen la propiedad, es decir:
a o b = b o a = e
a' o b' = b' o a' = e
a tiene un recíproco b
a' tiene un recíproco b'. Por tanto, están en el subconjunto en cuestión. Hay que demostrar que a o a' también tiene un recíproco.
Eliminemos esos "redondos", que son pesados.
a' o b' = e
multipliquemos a la izquierda por a y a la derecha por b:
a a' b' b = a e b = a b = e
Por tanto:
( a a' ) ( b' b ) = e
Partamos de:
b o a = e
multipliquemos a la izquierda por b' y a la derecha por a':
b' b a a' = b' e a' = b' a' = e
( b' b ) ( a a' ) = e
Por tanto, el elemento obtenido al componer a y a', que poseen recíprocos, también tiene un recíproco.
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Queda demostrar que este subconjunto forma realmente un grupo.
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Y para ello, demostraré que este subconjunto satisface el axioma del sándwich, es decir que:
a y b = c
tiene una solución y única.
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Entiendo. Axiomáticamente, procedes al revés de antes. Antes te habías dado el axioma del sándwich y habías demostrado que esto implica la existencia de recíprocos. Ahora supones que todos los elementos del conjunto tienen recíprocos y te arreglarás, usando esta propiedad, para recuperar el axioma del sándwich.
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La mejor manera de demostrar que la ecuación tiene una solución única es construirla. Multipliquemos la ecuación anterior a la izquierda por a⁻¹ y a la derecha por b⁻¹.
a⁻¹ a y b b⁻¹ = a⁻¹ c b⁻¹
( a⁻¹ a ) y ( b b⁻¹ ) = a⁻¹ c b⁻¹
y = a⁻¹ c b⁻¹
- Así, y es realmente solución de la ecuación:
a y b = c
Introduciendo la solución construida, obtenemos:
a ( a⁻¹ c b⁻¹ ) b = c
...Al hacer esto, admitimos que podemos manipular los paréntesis, generalizando la asociatividad. Hemos supuesto (es uno de los axiomas) que podemos aislar dos elementos en una secuencia de operaciones
a o b o ( c o d ) a o ( b o c ) o d ( a o b ) o c o d ( a o b ) o ( c o d )
Se trata de demostrar que es lícito incluir tres elementos entre dos paréntesis. Pero lo admitiremos sin demostración.
Aplicaciones:
...Consideremos el conjunto de los reales dotado de la multiplicación x como operación de composición. Es interna, pero no es un grupo según este nuevo conjunto de axiomas. De hecho, la ecuación que define el elemento e:
e o e = e
tiene dos soluciones:
e = +1 y e = -1
...Consideremos la construcción anterior. Se da un conjunto (los reales), una operación de composición, asociativa (la multiplicación). Este conjunto posee un elemento neutro 1, que entonces no se define como solución de
e o e = e
sino como elemento que, al componerse con cualquier otro elemento del grupo (incluso consigo mismo), da como resultado ese mismo elemento, es decir, la definición clásica:
Para todo a perteneciente al conjunto E se cumple que:
e o a = a o e = a
Si partimos de la definición clásica del recíproco:
a o a⁻¹ = a⁻¹ o a = e
...Hemos demostrado que el subconjunto de elementos que poseen un recíproco constituye un grupo. Así, los reales menos el cero constituyen un grupo.
Tomemos las matrices cuadradas de formato (n,n). Tienen un elemento neutro:
con ceros fuera de la diagonal principal, llena de "1".
Las matrices invertibles forman un grupo, llamado Grupo Lineal GL(n).
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A mí me gusta mucho todo esto.
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Hmm... es solo una variante de la axiomática clásica. Lo presenté en un coloquio de epistemología, en Grenoble, hace una semana.
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