Un inmersión de una superficie en R3 es una representación donde el plano tangente es continuo y no existe ningún conjunto de auto-intersección. La esfera y el toro pueden inmersarse en R3.
Una inmersión de una superficie en R3 también posee un plano tangente continuo, pero presenta un conjunto de auto-intersección. Ejemplos: superficie de Boy, botella de Klein.
Siempre se puede transformar una inmersión en una inmersión. Tomemos una esfera y acerquemos dos puntos, por ejemplo antípodas (los "polos"), desde el interior. En este universo "inmaterial" de las inmersiones, las superficies pueden atravesarse a sí mismas. Entonces se crea una curva de auto-intersección (aquí, un círculo).
Pero lo contrario no es automáticamente posible. Así, el plano proyectivo no puede inmersarse en R3, solo puede inmersarse. La forma clásica de esta inmersión es la superficie de Boy, que posee un conjunto de auto-intersección en forma de hélice trípode, con un punto triple (donde se cruzan tres hojas). Véase figuras 29a y 29b. Lo mismo ocurre con la botella de Klein, cuya auto-intersección mínima es una curva cerrada. Véase el Topologicon, página 46. Los inmersiones pueden considerarse casos particulares de inmersión, donde el conjunto de auto-intersección está vacío. Las representaciones donde aparecen puntos cuspídeos no son inmersiones, ya que, respecto a la continuidad del plano tangente, estos puntos son singulares. Llamemos a estas representaciones cizallamientos de objetos en R3. El cizallamiento de una superficie en R3 podría presentarse como una inmersión "casi en todas partes", es decir, con continuidad del plano tangente, excepto en un número finito de puntos. Pero esta no es una definición suficientemente precisa, porque existen múltiples formas de introducir una discontinuidad del plano tangente. Retomaremos esta cuestión de las discontinuidades más adelante.
Las superficies, y más generalmente los objetos geométricos: punto, recta, curva cerrada, "curva con borde" (segmento o "bola b1"), disco, etc., son como los objetos de un lenguaje. Hemos jugado abundantemente con todos estos elementos en el Topologicon (véase el cd-Lanturlu), "palabras" o "letras" con las que se pueden formar palabras, luego frases, según una sintaxis. Llamamos a estos objetos construcciones.
Existen transformaciones que son verdaderos operadores geométricos. En el artículo describimos la operación de creación-destrucción de puntos cuspídeos. Detallémosla.
Un objeto fundamental es lo que podríamos llamar el "cilindro gamma".
Tiene una línea de auto-intersección, a partir de la cual, al estrangular el paso tubular superior, crearemos dos puntos cuspídeos.
Comenzamos la operación de estrangulamiento: 
La sección de la superficie sigue siendo un "gamma", pero corresponde a un paso que se estrecha. Analizar el entorno de un punto singular siempre es algo delicado. Hay varios dibujos posibles, correspondientes a varios tipos de singularidades.
El punto G corresponde a la confluencia de dos puntos cuspídeos. Los anglosajones llaman a todas las singularidades "cusps". Traducción (diccionario): cuerno, vértice. Pero el vértice de un cuerno es un punto cónico. Larousse: cuspide: punta afilada y alargada, del latín cuspida: punta. La singularidad derivada de la confluencia puede adoptar otras formas, por ejemplo: 
La sección transversal es la misma: ese "V" invertido, pero no se trata del mismo objeto ni de la misma singularidad. Sea como fuere, se puede pasar de una de estas figuras a:
Donde tenemos dos puntos cuspídeos C1 y C2. La sección recta ha cambiado (representada a la derecha, con el plano de corte arriba de la figura).
Esta es la modificación "C".
Detalle: 
Expliqué a un amigo por teléfono qué era un punto cuspídeo.
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Imagina que estás montado en un caballo. De repente, con tus piernas, aplastas al caballo, de manera que tus dos piernas-segmento queden en contacto. La superficie-caballo cambia. Su trasero derecho se une con su hombro izquierdo y su trasero izquierdo con su hombro derecho.
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¿Pero dónde está el punto cuspídeo?
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Estás sentado encima.
El fenómeno de cambio de unión de hojas se llama una cirugía. La operación descrita a continuación es la formación de un punto cuspídeo a partir de un cilindro parabólico (el "caballo" de antes):
Después del "aplastamiento del caballo": 
En la parte superior, el punto cuspídeo.
El punto cuspídeo obtenido al aplastar una superficie a lo largo de un segmento y cambiar la unión de las hojas (una cirugía) nos permite comprender cómo se puede transformar una esfera en un Cross-Cap (también llamado en francés "esfera con gorro cruzado") al apretar una esfera con una plancha de rizos. 
Así, la plancha de rizos se convierte en la herramienta más sencilla para transformar una esfera en una superficie unilátera.
A continuación, el Cross-Cap:
Pequeña digresión: ¿cómo "mapear" un Cross-Cap? Se puede partir de una de sus representaciones poliédricas:
De donde podemos deducir el mapeo alrededor de un punto cuspídeo:
¿Significa esto que un simple golpe de plancha transforma automáticamente una superficie bilátera en una unilátera? No, véase el dibujo siguiente: 
Aquí hemos apretado una esfera entre dos reglas. Sigue siendo una superficie bilátera. Píntala, verás. Puedes usar dos colores (para el Cross-Cap no podrías hacerlo, porque es unilátera):
Otra vista: 
Así configurada, la esfera nos muestra la mitad de su exterior y la mitad de su interior. Si tienes dificultad para visualizar este objeto, aquí tienes una representación poliédrica:
Cuando nos encontramos con representaciones poliédricas como estas, podríamos intentar aplicar la descomposición en "células contráctiles" (véase el Topologicon, en el cd-Lanturlu) para intentar calcular la característica de Euler-Poincaré. Las representaciones poliédricas de la esfera (un simple cubo) o del toro permiten calcular su característica. Dos para la primera y cero para la segunda. En el álbum, página 47, se encontraba el plano de montaje de un "Cubo de Boy" donde se representaban aristas. En el paso, se puede montar esto con "perfiles de sección cuadrada Reynolds", en aleación ligera, utilizados para hacer estanterías. Se cortan los tubos cuadrados con la sierra, lo más cerca...