Representación analítica de la superficie de Boy

f5101 Una representación analítica de la superficie de Boy J.P. Petit y J. Souriau .

**...**A continuación, reproducimos una nota publicada en los Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de París, firmada por J.P. Petit y J. Souriau, fechada en 1981.

**...**Este trabajo tiene una historia. Hasta que apareció mi álbum Topologicon, editado por Belin en la serie de las Aventuras de Anselme Lanturlu, en 1985, las representaciones de la superficie de Boy en obras especializadas eran escasas. En algunos lugares se encontraban fotografías de modelos realizados en yeso o en alambre de gallinero. Charles Pugh, del departamento de matemáticas de la Universidad de Berkeley, es el especialista mundial indiscutible del alambre de gallinero. De hecho, fue con este material como obtuvo un premio financiero importante al construir maquetas que describían el giro de la esfera según Bernard Morin, maquetas que luego fueron digitalizadas por Nelson Max para convertirlas en un film que circula en todos los departamentos de matemáticas del mundo.

**...**Pero encuentro que el alambre de gallinero sigue siendo un material poco noble, especialmente para temas científicos de alto nivel. Al conocer a un escultor llamado Max Sauze, me inicié en la técnica del alambre de cobre, flexible pero rígido, que Max soldaba con destreza, procurando no calentarlo demasiado para que no se generaran tensiones parasitas en el material.

**...**Mi amigo Jacques Boulier, alias Vasselin, era entonces profesor en las Escuelas de Bellas Artes de Aix-en-Provence. Un año me propuso sustituir a uno de sus profesores que había ido al extranjero, lo cual acepté, asumiendo un servicio a tiempo parcial junto con Sauze. Mientras yo inventaba los objetos, Max los soldaba. Nuestros estudiantes, curiosos, daban vueltas a nuestro alrededor intentando imitarnos lo mejor posible. Ese año, esa ala de las Escuelas de Bellas Artes de Aix-en-Provence se convirtió en una especie de fábrica de producción en serie de superficies matemáticas.

**...**Si quieres intentarlo, no es complicado. Necesitas un rollo de este alambre de cobre, digamos de un diámetro de un milímetro y medio, como máximo, y una tenaza cortante. Con esto podrás representar las dos familias de curvas que componen cualquier superficie.

**...**El problema está en modelar adecuadamente estos objetos. Para ello, es útil poder deslizar los puntos de unión, allí donde se cruzan los "meridianos" y los "paralelos". Una buena solución consiste simplemente en atar los dos alambres metálicos con hilo de coser. Es lo suficientemente ajustado para darle consistencia al objeto, pero lo suficientemente deslizante como para permitir deformaciones y ajustes.

**...**Solo cuando consideres que el objeto es matemáticamente conforme a tus deseos, puedes confiarlo a alguien que maneje hábilmente la soldadura de plata y sepa soldar sin calentar las varillas, como Max lo hacía con arte consumado.

**...**Un día llevé un prototipo de la superficie de Boy, tras descubrir cómo debían organizarse los meridianos y los paralelos. Aparentemente, se podía lograr que los meridianos se asemejaran a una familia de elipses.

**...**Max copió el objeto con cuidado. Luego fui a ver a Souriau. Su hijo (que nunca tuvo paciencia para terminar su licenciatura en física) jugaba con el Apple II de su padre. Le lancé:

• Jérôme, ¿te gustaría tener una publicación de matemáticas puras a tu nombre?

• Bueno, ¿por qué no? ¿A quién hay que matar para eso?

• Nadie. Mira este objeto. Toma un transportador, mide estas elipses y trata de construirnos una representación semiempírica de esta superficie.

• Podemos intentarlo, dame...

**...**Dos días después, ya estaba hecho. El artículo fue rápidamente aceptado en los Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de París y publicado bajo nuestros dos nombres: J.P. Petit y J. Souriau.

**...**Pero como el padre se llama Jean-Marie y el hijo Jérôme, todos los matemáticos están convencidos de que fue un trabajo que hicimos juntos, Souriau padre y yo.

**...**El trazado de la superficie en ordenador, mediante un pequeño programa BASIC de unas pocas líneas, sorprendió enormemente a muchos matemáticos, que esperaban algo más complicado. El asunto tuvo una repercusión desagradable. El matemático Bernard Morin tenía un estudiante de tesis, Apéry, hijo de Apéry-padre, autor del inefable teorema según el cual la suma de los cubos de los números enteros es un número irracional. Entre otras...

**...**Yo lo ignoraba. Nuestro avance preocupó mucho a Morin, especialmente porque le dije en aquel momento con ingenuidad que este método debería permitir describir la superficie de cuatro orejas que lo había hecho famoso, la que había sido construida con su alambre de gallinero por Pugh, luego digitalizada por Max, etc.

Morin frunció el ceño:

• No, ¡es imposible!

**...**Veremos esto más adelante. Sigo convencido de lo contrario. Pero esta frase era el equivalente de la famosa réplica que lanzó Arquímedes al soldado romano que venía a interrumpirlo en sus meditaciones: ¡Noli tangere circuleos meos!

En francés: "¡No toques mis círculos!"

Aquí, era más bien: "¡No toques mis elipses!"

**...**Posteriormente, Apéry explotó mi descubrimiento, según el cual se podía dotar a la superficie de Boy de un sistema de meridianos elípticos, para construir la primera ecuación implícita del objeto:

f(x, y, z) = 0

**...**Morin, furioso por verme aparecer como un intruso en sus propios trabajos matemáticos, obligó a Apéry a aclarar en su tesis que fue Sauze quien había tenido la idea de las elipses. Max no lo negó, pero es falso. La prueba está en mi sótano: la maqueta que le llevé a Max para que la puliera.

**...**En fin, todo esto es bastante ridículo, en definitiva. Esta anécdota sirve para mostrar que los matemáticos no son más brillantes que los físicos.

**...**El politécnico Colonna, pionero en imágenes de síntesis, utilizó nuestras ecuaciones sin mencionar su origen. Pero hay un detalle curioso: si ves en una pantalla imágenes de la superficie de Boy, y si es "la nuestra", inevitablemente presentará tres pequeños "pliegues" cerca de su polo. Un defecto de ajuste en las ecuaciones. Jérôme, hijo de Souriau, lo había hecho a toda prisa, y un último pequeño golpe de soldadura cerca del polo no habría estado de más. De hecho, sigue siendo factible para quien quiera hacerlo.

**...**Esta saga de la superficie de Boy no está cerrada. Para completar, mencionemos a un personaje: Carlo Bonomi, un millonario italiano. Lo conocí durante una expedición al Triángulo de las Bermudas (pero esta es otra historia). Navegábamos a gran velocidad en su yate, de un lujo que te dejaría sin aliento, en busca de una pirámide sumergida señalada por un cierto Charles Berlitz en uno de sus libros. No encontramos la pirámide, y apenas escapamos de ser devorados por los numerosos tiburones que habitaban esos lugares. Si tienes un atlas, el lugar donde se suponía que debía estar esa maldita "Pirámide Atlántica" está al suroeste de un arrecife llamado Cay Sal Balk, a cincuenta millas al sur de Cuba.

**...**Entre dos inmersiones y dos cenas de caviar, propuse a Bonomi patrocinar una fabricación intensiva de superficies de Boy. La idea le gustó y hubo una continuación. Digamos que la superficie de Boy que adorna la sala de matemáticas del Palacio de la Descubierta de París fue pagada por Bonomi y realizada por Sauze. El financiero pensaba montar una exposición haciendo fabricar los objetos en oro macizo. Pero el asunto no tuvo continuación. Sorprendido por su silencio prolongado, llamé a sus oficinas en Milán. Lamentablemente, implicado en el escándalo de la logia P2, había sido encarcelado, y su interés por la topología había sufrido un daño irreversible.

**...**El revestimiento de dos hojas de una superficie de Boy, imagen del proyectivo P², es una esfera S² (véase el Topologicon). Pugh construyó este revestimiento con dos capas de alambre de gallinero, un objeto notable en todos los sentidos, aunque, como ya dije, personalmente prefiero el alambre de cobre y la representación meridianos-paralelos. Pero incluso en matemáticas puras:

• De gustibus et coloribus non disputandum.

**...**Antes de presentar la nota, una última anécdota. Charles Pugh había construido siete modelos en alambre de gallinero, lo que le valió un premio importante, describiendo las etapas sucesivas del giro de la esfera, de las que hablaré cuando encuentre cinco minutos para alojarlo en el sitio, y que habían sido suspendidos del techo de la cafetería del departamento de matemáticas de la Universidad de Berkeley.

**...**Por tanto, matemáticos de todo el mundo acudían en peregrinación para admirar esta secuencia admirable en todos los aspectos. Pero una noche, los modelos fueron robados y nadie sabe qué fue de esos siete objetos, que además eran estrictamente invendibles. ¿Qué ladronzuelo aceptaría una operación así? A menos que un rico aficionado, medio esteta, medio matemático, hubiera financiado la operación con la intención de almacenarlos en una bodega blindada, gozando solo él de la posibilidad de contemplar esta octava maravilla del mundo, aunque fuera fabricada en alambre de gallinero.

**...**Pugh, a pesar de su dominio del material, no tuvo el valor de iniciar una nueva serie.

**...**Como ya dijimos al principio del sitio, la propia vida de Werner Boy sigue siendo un misterio. Tras inventar la superficie a la que debía unir su nombre, se desmaterializó literalmente tras su salida de la universidad. A pesar de sus investigaciones, Hilbert no pudo encontrar su rastro, y ni siquiera se sabe dónde fue enterrado.

**...**Volvamos a las matemáticas. La nota que sigue es relativamente fácil de leer. A partir de las fórmulas 1 a 8, cualquier estudiante despierto podrá construir imágenes muy bellas y verificar que los cortes corresponden bien a la figura 5.

C.R. Acad. Sci. Paris, t. 293 (5 de octubre de 1981), Série 1 - 269
GEOMETRÍA. - Una representación analítica de la superficie de Boy. Nota de Jean-Pierre Petit y Jérôme Souriau, presentada por André Lichnérowicz.

Se presenta una representación analítica de la superficie de Boy, que permite trazarla.

1. INTRODUCCIÓN.
**...**La superficie inventada en 1901 por el matemático Werner Boy, alumno de Hilbert, es bien conocida entre los matemáticos. Puede intervenir como etapa central en el giro de la esfera ([1] y [2]).

**...**En 1979 (J.P.P.) construyó una maqueta en alambre metálico, destacando las posiciones que debían ocupar las líneas meridianas de la superficie. Un segundo trabajo realizado en 1980 junto al escultor Max Sauze permitió reconstruir una segunda maqueta donde las curvas se situaban en planos y parecían bastante cercanas a elipses. A partir de tal maqueta, parecía posible construir una representación analítica de una superficie con la topología de la superficie de Boy, cuyos meridianos fueran elipses que pasaran por un único polo.

2. CÓMO GENERAR LA SUPERFICIE DE BOY UTILIZANDO ELIPSES.

**...**Situemos el polo en el origen de coordenadas. En este punto, la superficie será tangente al plano (XOY). Por tanto, tendrá el eje OZ como eje de simetría ternaria (ver figura 1). Las curvas meridianas son elipses situadas en planos Pm. Sea OX1 la traza en el plano XOY de un plano Pm. Llamemos m al ángulo (OX, OX1). En este plano Pm situemos un segundo eje OZ1 perpendicular a OX1. Y llamemos a al ángulo (OZ, OZ1).

Fig. 1 y Fig. 2

**...**El primer parámetro de esta representación analítica será el ángulo m. Consideraremos el ángulo a como una función de m (que se definirá más adelante). En el plano Pm trazaremos ahora una elipse tangente en O a OX1 (ver figura 2). Tomaremos los ejes de esta elipse paralelos a las bisectrices de X1OZ1. Llamemos A(m) y B(m) a los valores de los ejes de esta elipse. Esta elipse Em será generada por un segundo parámetro libre q.

**...**En resumen, obtendremos las coordenadas X(m,q), Y(m,q), Z(m,q) del punto corriente de la superficie.

**...**En este enfoque semiempírico, las mediciones realizadas por (J.S.) sobre la maqueta permitieron una aproximación de las funciones a(m), A(m) y B(m). La superficie fue luego trazada por ordenador "Apple-II" y se obtuvieron cortes a Z = constante; el examen de estos cortes permitió determinar la identidad topológica con la superficie de Boy. Esta no pudo obtenerse sin una experimentación numérica (J.S.) que permitió eliminar los pares de singularidades parasitas (aparición de pares de puntos cuspídeos).

**...**Hemos decidido retener: (1) A(m) + 10 + 1,41 Sen (6m - π/3) + 1,98 Sen (3m - π/6)
(2) B(m) + 10 + 1,41 Sen (6m - π/3) - 1,98 Sen (3m - π/6)
(3)

**...**En el sistema X1 O Z1, las coordenadas del centro de la elipse Em son: (4)

(5)

**...**En este mismo sistema, las coordenadas del punto corriente de la elipse son: (6)

(7)

y las coordenadas x, y, z vienen dadas por:
(8)