Volvamos a esta clase de homotopías de inmersiones del toro en R³. Volvamos a esta clase de homotopías de inmersiones del toro en R³. Es fácil conectar los dos objetos mostrados mediante una transformación "C". Tomamos un toro y lo "atraviesa a sí mismo" en algún lugar, creando una línea de puntos dobles que es un círculo: 
He usado "dos colores": gris para el exterior del toro, blanco para el interior. El atravesamiento anterior (que conduce a una de las infinitas inmersiones posibles del "toro estándar") hace aparecer una parte blanca de la superficie.
Observemos este objeto desde un punto situado sobre el eje del toro:
En la parte superior, la porción interior (blanca) del toro que el atravesamiento ha hecho aparecer. A continuación, podemos aplicar una "transformación C" y crear dos puntos cuspídeos. 
En el punto indicado por la flecha, "estrangulamos" un paso. La operación crea dos puntos cuspídeos C1 y C2:
que podemos hacer migrar como a continuación:
Ya solo queda realizar una transformación C⁻¹ (confluencia de dos puntos cuspídeos):
Obtenemos el objeto: 
Esta inmersión del toro es homotópica al toro estándar.
Vemos que esta operación "C" y su inversa "C⁻¹", que amplían el universo de las inmersiones al de los deslizamientos de superficies en R³, permite hacer cosas interesantes. Se puede construir el conjunto de los deslizamientos de superficies clásicas (esfera, plano proyectivo, toro y botella de Klein). ¿Cuántas clases posee este conjunto?
Vimos que la esfera y el plano proyectivo pertenecen a una misma clase (al igual que la superficie de Boy derecha y la superficie de Boy izquierda). ¿Cuántas clases de deslizamiento tiene el toro? Creo, salvo error, que este problema aún no está resuelto. ¿Se puede, mediante operaciones C, pasar de una clase de inmersión del toro a otra, o no? Intuitivamente, tendería a responder que no, pero se trata únicamente de una conjetura.
Una construcción no puede demostrar una imposibilidad, sino solo ilustrar una posibilidad. Si alguien encuentra construcciones que permitan saltar de una clase a otra, el teorema quedará de facto demostrado, pero el hecho de que no se encuentren construcciones que lo permitan no constituye en sí una demostración. La ausencia de prueba no es prueba de ausencia. Decir que existen cuatro clases de deslizamiento del toro en R³, o decir que solo existe una, son conjeturas, simples creencias, en este momento.
Resulta que Smale demostró que dar la vuelta a la esfera era algo posible antes de que Phillips diera la primera construcción. Podría haber sido al revés. Pero ¿quién habría tenido la idea de emprender una empresa así, totalmente en contra de nuestra intuición geométrica?
La transformación C permite transformar una esfera en un Cross cap, luego en una superficie de Boy, pasando por la superficie romana de Steiner. Véase el artículo. ¿Permite transformar un toro en una botella de Klein? Lógicamente sí, pero no tengo la respuesta inmediata a esta pregunta.
Por cierto, ¿por qué hablar de "plano proyectivo"? Los objetos (uniláteros) mostrados son finitos. Respuesta de Souriau:
- En un plano tenemos "la recta del infinito". Simplemente se pega ese plano según la recta del infinito.
La cual, como es de esperar, es una curva cerrada.
En el Topologicon se encuentra un pequeño dibujo animado, un "feuilletable", que muestra cómo una cinta de Möbius con tres medias vueltas puede transformarse en una superficie de Boy. La última imagen muestra esta superficie, menos un disco. Basta añadir este disco para completar la superficie. Una superficie de Boy es, pues, una cinta de Möbius más un disco. Ejercicio: usando las herramientas del Topologicon, recalculad entonces su característica de Euler-Poincaré (que vale 1).
A la inversa, se podría partir del disco y hacerlo crecer, atravesándose a sí mismo, hasta que se pegue sobre esa cinta de Möbius con tres medias vueltas, lo cual constituye otra construcción.
He recuperado los dibujos en la comunicación de 55 páginas que presenté en el coloquio lacaniano de psicoanálisis de Aix-en-Provence (4 y 5 de abril de 1987), dedicado a la "Perversión", y que figura en las actas editadas por sus organizadores. Usaré este texto en un documento futuro titulado "JPP chez Lacan".
Primera imagen: el disco en pleno contorsionamiento.
A continuación, inicio de la creación del conjunto de auto-intersección:
Imagen siguiente: aparición del punto triple:
Dejo de aplicar sombreados, ya que la superficie está a punto de convertirse en unilátera.
A continuación, la superficie está lista para pegarse a sí misma a lo largo de su borde.
Allí se ha representado la cinta de Möbius con tres medias vueltas, completando la superficie:
Imagen siguiente: la misma cinta.
Luego, la superficie de Boy completamente formada. No se puede decir, respecto a las imágenes presentadas en el Topologicon, "que se ve por debajo", ya que una superficie de Boy no tiene ni cola ni cabeza. Digamos que tal como se presenta, se ve su punto triple.
A continuación, su conjunto de auto-intersección: 
Así que, con sus propios ojos, han visto cómo el plano se pliega sobre su "recta del infinito". De ahí su nombre: "plano proyectivo", bastante extraño a primera vista. Tal vez sea la primera vez que se muestra al público el infinito tan de cerca.
Estas imágenes fueron compuestas hace una buena veintena de años y este sitio web, o este CD, ofrecen finalmente la posibilidad de mostrarlas. El lector se preguntará quizás por qué no aparecieron en "Pour la Science" o "La Recherche". No fue por falta de enviar artículos a estas revistas, pero las redacciones no encontraron el tema interesante.
Espero que con esta "caja de herramientas geométricas" se apresuren a inventar multitud de nuevas superficies. Aquí tiene una, imaginada por la señora Ivars. Tome una esfera y introduzca en dos direcciones diametralmente opuestas dos segmentos de igual longitud, hasta el contacto, imaginando que estos están soldados sobre dos varillas, así:
Cuando los segmentos llegan al contacto, se produce una "cirugía". Tenemos una intersección de hojas a lo largo del segmento, y dos puntos cónicos en cada extremo. A continuación, esta superficie, en corte.
La misma, en perspectiva:
Al radio de herramientas...