Inestabilidad de Jeans y gravedad cosmológica

Proyecto Epistémotron 2

La inestabilidad gravitatoria o
Inestabilidad de Jeans

6 de mayo de 2004

Consideremos una esfera llena de "polvo", es decir, con una densidad constante de puntos masivos inmóviles. La esfera tiene un radio R. Representa una masa M. Consideremos una masa m situada en la superficie de esta esfera. Escribamos la ley de Newton. Obtenemos, en dos líneas de cálculo, la ecuación de Friedmann, la de los modelos cosmológicos del mismo nombre:

Podrá encontrar las tres clases de soluciones de esta ecuación diferencial de segundo orden, que dan lugar a los modelos:

• Cíclico (R en cicloide)

• Hiperbólico (R tiende a una asíntota)

• Modelo de Einstein de Sitter, en tq

En 1934, Milne y Mac Crea demostraron que la ecuación principal de la RG podía surgir del newtoniano. En los años setenta, yo había hecho lo mismo con la solución maxwelliana de la ecuación de Boltzmann, acoplada a la ecuación de Poisson. Pasemos...

Nos centraremos en la solución en tm construida por Einstein y de Sitter:

Vamos a hacer adimensional esta ecuación introduciendo una dimensión característica que será simplemente el valor inicial del radio. Aparece entonces un tiempo característico.

Si la solución de Einstein de Sitter describe una expansión retardada, a partir de condiciones iniciales explosivas, es simétrica al cambiar t por -t. Obtenemos dos parábolas simétricas respecto a un tiempo t = 0, obviamente arbitrario. Si "leemos" la curva de la izquierda, tenemos la descripción de un colapso gravitacional que se autoacelera.

A este fenómeno se asocia este tiempo característico que se llama tiempo de Jeans. Vemos así que una masa de polvo (conjunto de partículas sin velocidad de agitación), cualquiera que sea su tamaño 2R, colapsa en un tiempo* que depende únicamente del valor de la densidad*.

Ahora consideraremos el fenómeno inverso: una nube de masas m, de dimensión L, que es el escenario de un movimiento de agitación térmica. Despreciamos las fuerzas gravitatorias. La nube se dispersará en un tiempo característico igual a L dividido por el valor medio de la velocidad de agitación térmica , relacionado con la temperatura absoluta T (ver dossier anterior, sobre la teoría cinética de los gases). Llamaremos a este tiempo de dispersión td. En una esfera de gas, ambos fenómenos serán antagónicos. Entonces nos damos cuenta de que el tiempo de dispersión es mayor que el tiempo característico de colapso o de acreción si simplemente el tamaño del "grumoso" considerado excede una cierta longitud característica, la Longitud de Jeans Lj

Esta longitud es proporcional a la velocidad de agitación térmica e inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la densidad r. Así que "si calentamos, estabilizamos".

• ¿Qué calienta (por ejemplo, una masa de gas interestelar)? Respuesta: las estrellas calientes, emitiendo UV.

• ¿Qué enfría? Las pérdidas radiativas (el gas irradia en infrarrojo).

Una masa de gas interestelar funciona entonces como una cisterna de agua, es escenario de un fenómeno homeostático. Si el gas se enfría (radiativamente), se vuelve gravitacionalmente inestable y da origen a estrellas que, expulsando UV, lo calientan y lo hinchan de nuevo. Es un mecanismo "anti-depresión". El fenómeno estelar desempeña respecto al gas el papel de un antidepresivo. Este gas, en una galaxia espiral, está confinado en un disco muy plano, de unos cientos de años-luz de espesor, lo cual es poco comparado con los 100.000 años-luz que representa el diámetro de la galaxia. La capa de gas tiene la geometría de un disco microscópico. Tiene espesor constante, simplemente porque este espesor está regulado por el mismo fenómeno anti-depresión, en todas partes.

Algunos de ustedes han intentado modelar por simulación una inestabilidad gravitatoria, sin éxito. Porque su gas era demasiado caliente, o porque los puntos masivos no eran lo suficientemente masivos. Así que la distancia de Jeans era mayor que el diámetro de su grumoso inicial; se produce un fenómeno análogo en 2D cuando se trabaja sobre una esfera, lo que algunos de ustedes han hecho. Podrán entretenerse construyendo el equivalente de la teoría de Jeans en 2D. Se encontrará entonces una longitud característica que será proporcional a la velocidad de agitación térmica 2D, sobre la "piel" de esta esfera. La densidad desempeñará un papel análogo al de 3D, pero debo confesar que esta noche tengo pereza de aclarar este problema, sin interés real, ya que el universo es tridimensional y no bidimensional. Pero cualitativamente, los fenómenos son similares. Entonces deberíamos encontrar una longitud de Jeans 2D. Si esta longitud es mayor que el perímetro de un gran círculo de la esfera, no habrá grumos. Si esta longitud de Jeans es pequeña comparada con ese perímetro: muchos grumos. Cuando tengan en sus manos los programas de cálculo sobre la esfera 2D podrán entretenerse con esto. D'Agostini ha hecho un excelente programa que instalaré en el siguiente dossier. Tendrán tanto el ejecutable como el código fuente, para experimentar. Está en Pascal.

La expansión enfría. Isentrópica, es desestabilizadora.

Vemos que la longitud de Jeans crece como raíz de R. Por tanto, inevitablemente, algo que se expande isentrópicamente se vuelve inestable, se fragmenta. Si no hubiera habido fotones, la radiación cósmica, el universo habría creado grumos desde su edad más temprana. Sin embargo, el acoplamiento materia-radiación ha inhibido la inestabilidad gravitatoria hasta que el universo se desionizó hacia t = 100.000 años. Si tomamos entonces la velocidad de agitación térmica del hidrógeno, que está justo por debajo de 3000 °C, y la densidad que reinaba en aquel entonces, encontraremos un cierto valor de la longitud de Jeans, y si calculamos la masa que se encontraba en esos grumos, hallamos la masa de Jeans asociada, que en aquel momento rondaba las 100.000 masas solares. Por tanto, es lógico pensar que en el momento del desacoplamiento serían masas equivalentes a las de los cúmulos globulares las que se habrían constituido en grumos separados.

Una pequeña observación para terminar. Cuando llegué al observatorio de Marsella, huía de una abominable pesadilla que era el Instituto de Mecánica de Fluidos (alias "laboratorio de plutomecánica"). El laboratorio, que estaba al lado de la actual estación de autobuses de Marsella, cerca de la estación ferroviaria de Saint Charles, fue demolido hace algunos años. Su director está seis pies bajo tierra. Fue allí donde aniquilé la inestabilidad de Vélikhov en 1966, lo que provocó muchas fiebres. Un día, sentado frente a mi generador MHD impulsivo en forma de cañón de gas, me dije: "Macho, si no te largas de aquí, te volverás como los demás". Entonces, en unos pocos meses, tragué un tratado sobre teoría cinética de gases, el "Chapman y Cowling", titulado "The mathematical theory of non uniform gases", de la editorial de la Universidad de Cambridge. Un excelente libro del que no puedo recomendar suficientemente la lectura y que iniciará a quienes quieran ir más lejos en la teoría con el cálculo mediante didas, matrices didádicas. En fase de digestión tuve una o dos ideas y construí una tesis doctoral —bote de mierda.