Problemas de geodésicas
Sabes trazar geodésicas sobre una superficie usando cinta adhesiva. Pregunta: ¿bajo qué condiciones puede una geodésica trazada sobre un cono volver a cortarse a sí misma?
Tomemos un punto sobre un cono de revolución y hagamos partir una geodésica en una dirección perpendicular a una de sus generatrices: 
Consideremos la generatriz simétrica respecto al eje de revolución de este cono (cualquier cono puede siempre deformarse en un cono de revolución sin alterar el dibujo de sus geodésicas). En el caso del dibujo anterior, obtendríamos esto al extender nuestro cono sobre el plano:
Sabemos que el ángulo de corte representa entonces la cantidad de curvatura angular concentrada en el vértice del cono. La geodésica se transforma entonces en una recta del plano, ya que la superficie es desarrollable.
Vemos que para que una geodésica pueda cortarse a sí misma, el ángulo de corte debe ser mayor de 180°, es decir, el cono debe ser lo suficientemente agudo.
Al reconstruir nuestro cono, obtendremos:
¿Puede una geodésica de un cono "llegar al vértice"?
Solo las generatrices del cono pueden hacerlo. Cualquiera que sea la geodésica trazada sobre un cono, por muy cerca que esté del vértice, nunca podrá acercarse más a él; incluso si parece "trazada para acercarse". Basta unir el vértice del cono con el punto más cercano a esta geodésica. La generatriz cortará entonces a la geodésica en ángulo recto. Podremos realizar un corte según la geodésica opuesta y extenderla sobre el plano.
Por muy agudo que sea nuestro cono, obtendremos únicamente cortes sucesivos.
¿Pueden las geodésicas cortarse indefinidamente? Al desarrollar el cono, todo ocurre como si la geodésica "rebotara" sobre la generatriz que une el vértice con el punto de encuentro.
Arriba, obviamente, el "rebote" envía ambas partes de la generatriz en direcciones tales que ya no podrán cortarse de nuevo. Para tener múltiples cortes, se necesita un cono muy agudo.
Pero en cada "rebote", el ángulo se abre y finalmente queda atrapado en el sector 2π – q. El número de cortes es finito.
Las generatrices del cono constituyen una familia muy especial. Pero ¿qué entendemos por cono?
Podemos considerar que el objeto "cono" corresponde al dibujo de la izquierda. Las geodésicas-generatrices son entonces semirrectas.
Pero también podemos considerar que un cono corresponde al objeto de la derecha. En estas condiciones, ¿qué entendemos por geodésica? Si es el camino más corto que une dos puntos, podríamos encontrarnos con situaciones como esta:
Podríamos optar por una estructura cónica donde cada generatriz se prolonga según una segunda generatriz situada en el segundo semicono y solo una, formando un conjunto continuo. Podemos imaginar puntos cónicos en un espacio tridimensional (ver artículo 11 de Geometrical Physics A).
Otros tipos de singularidades.
Los puntos cuspidales son puntos singulares. Podemos identificar otros. Por ejemplo, los "puntos cónicos", donde los puntos de retroceso de la superficie, "puntos de espinas".
A la izquierda, una esfera con un punto cónico. A la derecha, un punto de espinas.
Creamos un punto cónico con un punzón. Podríamos llamar a la modificación "creación de punto cónico" P y a su inversa P⁻¹.
Del mismo modo, la creación de un punto de espinas correspondería a la modificación H. En realidad, la creación del punto de espinas sigue a la del punto cónico. Es un punto cónico cuyo ángulo en el vértice se ha vuelto cero. Por tanto, la modificación que lleva al espinas local de una superficie sería P H, y su inversa: H⁻¹P⁻¹.
Hay otras formas de modificar una superficie, por ejemplo, creando un diedro. La creación de un diedro será la modificación D. Esta puede implementarse independientemente de cualquier otra, siempre que afecte a un trayecto cerrado (sobre una superficie regular). El ejemplo más simple es el de la esfera. Podemos crear un "pliegue" a lo largo de su ecuador, por ejemplo. En el paso, este pliegue contendrá "curvatura lineal", tema ya tratado en la introducción de Geometrical Physics A.
Si, sobre una superficie regular, esta modificación afecta a un segmento, cada extremo de este sufrirá una modificación P.
Tomemos una esfera, una esfera "blanda", deformable. Metámonos dentro con un segmento, una regla rígida, y empujemos la esfera. Los dos extremos de la regla comienzan a entrar en contacto con la superficie. Efecto "punzón": aparición de pequeños puntos cónicos. Seguimos empujando. El segmento entra en contacto con la esfera, pero aún no se forma el diedro. Si está en contacto con la esfera, significa simplemente que existe sobre esta esfera un trayecto rectilíneo AB. Pero esto no implica automáticamente que la esfera tenga un pliegue. Podemos compararlo con el montaje de una tienda de campaña con dos postes. Instalamos los postes
Efecto de las dos modificaciones P. Creación de dos puntos cónicos A y B.
luego tensamos un cable que los une. Pero si el interior de la tienda está en vacío, la tela no caerá sobre el cable formando un pliegue.
Tensión del cable: la superficie adquiere un segmento rectilíneo AB. Pero si el viento sopla y la tienda está ligeramente inflada, el entorno del segmento puede conservar, a lo largo del segmento, la continuidad del plano tangente, como muestra la vista de la tienda desde otro ángulo.
Si el viento cesa de soplar, las paredes de la tienda se hundirán bajo su propio peso. En cuanto comience el movimiento, se rompe la continuidad del plano tangente. Aparece el diedro. Modificación D.
¿Para qué puede servir esto?
Antes de pasar a aplicaciones prácticas, debemos definir otra modificación. Imagina un cono: tiene un punto cónico que concentra la "curvatura angular". Si el punto cónico no forma parte de un "verdadero" cono, cuyo costado carece de curvatura, la superficie es asimilable a un cono, a pequeña distancia del punto cónico. Esto equivale a decir que en un punto cónico de una superficie existe un "cono tangente".
Pero volvamos a nuestro cono. Sin dificultad podemos hacer que dos puntos cónicos estén próximos. Incluso podemos construir físicamente una superficie así, a partir de dos cortes realizados en un plano:
Las líneas que parten de A y B son simplemente "cortes..."