Representación
poliédrica de un punto cuspidal, cálculo de su curvatura concentrada.
Representaciones
poliédricas de diferentes superficies.
Permutación
de los puntos cuspidales de una Cross cap.
Transformación
de una superficie de Boy "recta" en superficie de Boy "izquierda", pasando por la superficie romana
de Steiner.
Inversión
"recta-izquierda" de una superficie de Boy.
Jean-Pierre Petit
Director de Investigación
del CNRS
1988-1999
Resumen:
Se presentan
algunos elementos que permiten representar puntos
de curvatura concentrada: "posicónicas", "negacónicas"
y sus equivalentes poliédricos: "posicoines" y "negacoines",
que permiten construir representaciones poliédricas de
diferentes superficies, y recuperar su curvatura total. Así, la
representación poliédrica de la superficie romana de Steiner está
formada por cuatro cubos unidos por sus aristas, lo que la hace más comprensible. Una representación poliédrica
de la superficie de Boy ya había sido dada
en el Topologicon, 1985, Editions Belin, páginas 48 y 49, en forma de recorte,
que hay que construir. En la página 46 también aparecían representaciones
poliédricas del toro y de la botella de Klein. Se dan representaciones
poliédricas de la Cross-Cap. La curvatura total
de las diferentes inmersiones del plano proyectivo en R3: superficie de Boy,
Cross-Cap, superficie romana de Steiner, vale 2π. La representación poliédrica
de los puntos cuspidales, considerados como puntos de curvatura
concentrada, permite calcularla de forma muy sencilla. Cross-Cap,
superficie romana de Steiner, superficie de Boy se presentan como "los múltiples
rostros" de un objeto único: el plano proyectivo. Como esto no es evidente
a simple vista, se construyen transformaciones geométricas
que permiten pasar de una a otra. Partimos de la Cross-Cap
que transformamos en superficie romana de Steiner al crear dos puntos
cuspidales adicionales (es decir, aplicamos, en este sentido, la modificación genérica "creación-decreación
de puntos cuspidales"), y luego transformamos la superficie de Steiner en superficie de
Boy mediante la fusión de pares de puntos cuspidales. Accidentalmente, al utilizar
el hecho de que el embebido estándar de la esfera puede transformarse en su embebido antipodal (giro de la esfera), demostramos que
los dos puntos cuspidales de una Cross-Cap pueden intercambiarse
mediante una sucesión de inmersiones, la transformación ilustrando el hecho de que estos
dos puntos son equivalentes.
PRÓLOGO:
El lector
encontrará aquí elementos generales que también se encuentran
en la introducción de GEOMETRICAL PHYSICS A (definición
de posicoines, negacoines, etc). Si desea saltar este apartado basta con
hacer clic aquí.
.
Si se
dibuja en un plano un triángulo compuesto por segmentos rectos,
la suma de los ángulos en los vértices vale π. Estas rectas del plano pueden obtenerse
de otra manera: pegando sobre la superficie bandas de una cinta adhesiva cualquiera, sin hacer pliegues. A estos recorridos
del plano se les llama geodésicas. Se pueden trazar curvas geodésicas
sobre cualquier superficie mediante este procedimiento, por ejemplo sobre el ala
de un automóvil, o sobre su capó.
Figura 1: Un triángulo
considerado como un conjunto de tres geodésicas del plano
POSICOINES Y NEGACOINES
Realicemos
una cortadura en un plano. y unamos los dos bordes, luego tracemos
un triángulo con nuestra cinta de cinta adhesiva, formado por tres geodésicas de este cono.
Figura 2: Construcción
de un posicón.
Al separar
los dos bordes de la superficie, según la cortadura realizada
anteriormente (figura 3), se podrá comprobar fácilmente, usando
un transportador, que la suma de los ángulos A, B y C es igual a
π
más el ángulo de la cortadura α. Esta desviación
respecto a la suma euclidiana la llamaremos curvatura, y diremos que el triángulo "contiene" una cierta cantidad de curvatura angular α.
Esta desviación será la misma para cualquier triángulo, siempre que contenga
el vértice del cono. Si no lo contiene, la suma valdrá
π
. Diremos que la curvatura está concentrada en el vértice M del cono,
que es entonces un "punto de curvatura concentrada". Como la suma de los ángulos
es mayor que la suma euclidiana, diremos que esta curvatura
es positiva. Así, un plano sería, desde esta perspectiva, una superficie con
curvatura nula.
Figura 3: El posicón
extendido sobre el plano.
Esta
curvatura es aditiva. Si pegas juntos varios de estos conos
correspondientes a ángulos
α, β, γ,
podrás trazar todo tipo de triángulos formados por arcos geodésicos.
Si el triángulo rodea tres puntos correspondientes a curvaturas concentradas
iguales a
α, β, γ,
entonces la suma
de sus ángulos en los vértices valdrá:
π + α + β + γ
.
Se puede
considerar una superficie de curvatura positiva como una esfera
como un conjunto de una infinidad de "posicónicas". En lugar de tener
una curvatura concentrada en distintos puntos, tendremos una curvatura
distribuida uniformemente sobre toda la superficie. Diremos que la esfera
es una superficie con "curvatura constante" (o con "densidad de
curvatura angular constante").
Fig. 4: Un triángulo formado por tres arcos geodésicos.
En la
esfera, las geodésicas son "círculos máximos". El ecuador
y los meridianos son círculos máximos, son arcos geodésicos
de la esfera. Pero no podrás crear
un paralelo con una cinta adhesiva. Los paralelos no son
geodésicas de la esfera. La suma de los ángulos en los vértices
de un triángulo trazado sobre una esfera depende del cociente entre
el área del triángulo y el área de la esfera. La suma de los ángulos de un
triángulo muy pequeño será muy cercana a
π
.
Un triángulo
cuya superficie fuera un octavo de la superficie de la esfera
tendría una suma
A + B + C = 2π
Un gran
círculo de la esfera puede considerarse como un
"triángulo", siempre que coloquemos sus tres vértices... en cualquier lugar
sobre ese círculo. La suma A + B + C valdrá 3π. Contiene la mitad de la superficie de la esfera.
¿Cuál es el máximo posible? No podemos decir "ampliemos" el triángulo
más allá de ese gran círculo, porque más allá la longitud
de los arcos geodésicos que forman sus lados disminuirá
y tenderá incluso a cero.
Cuando se
ha rodeado toda la superficie de la esfera se obtiene
A + B + C = 5π = π + 4π
Diremos que la
curvatura total de la esfera vale 4π.
Fig. 5: Suma de los ángulos.
Triángulo formado por arcos geodésicos de la esfera.
La cantidad
de curvatura contenida en un triángulo corresponde a una simple regla de tres:
Ahora vamos a crear un "negacón", insertando
esta vez un sector angular α en un plano, como se indica en la
figura 6
Fig. 6: Un "negacón"
Cuando se
elimina el sector angular se obtiene esto:
Fig. 7: El negacón extendido sobre el plano.
La suma
de los ángulos del triángulo vale A + B + C = π - α
Diremos que esta superficie es un negacón que posee un
punto de curvatura concentrada, negativa
. Esta curvatura también
es aditiva. Al componer una superficie con una yuxtaposición de mini posicón y
mini negacón se puede crear una superficie donde el valor
local de la curvatura sea cualquiera.
La figura
7 es una superficie con curvatura negativa distribuida. También diremos
que esta superficie posee, en cada punto, una
densidad de curvatura
(angular). La desviación (negativa) respecto al valor euclidiano de la suma de los ángulos dependerá aquí también
del área del triángulo. Cuanto más pequeño sea éste, más cercana será esta suma a
π
...