Volvamos
a esta clase de homotopías de inmersiones del toro en R3. Es fácil conectar
los dos objetos mostrados mediante una transformación
"C". Tomamos un toro y lo "atraviesamos a sí mismo" en algún punto, creando
una línea de puntos dobles que es un círculo:
He
puesto "dos colores": gris para el exterior del toro, blanco para el interior.
El atravesamiento anterior (que conduce a una de las infinitas
inmersiones posibles del "toro estándar") hace aparecer una parte
blanca de la superficie.
Observemos
este objeto desde un punto situado sobre el eje del toro:
En la parte superior,
la porción del interior (blanca) del toro, que el atravesamiento
ha hecho aparecer. A continuación, podemos aplicar una "transformación
C" y crear dos puntos cuspídeos.
En el punto
indicado por la flecha se "estrangula" un paso. La operación
crea dos puntos cuspídeos C1 y C2:
que se pueden hacer migrar
como a continuación:
Ya no queda más que realizar una transformación C
-1
(confluencia de dos puntos cuspídeos):
Obtenemos
el objeto:
Esta
inmersión del toro es homotópica al toro estándar.
Vemos
que esta operación "C" y su inversa "C
-1", que amplían el universo de las inmersiones al de los deslizamientos de superficies en R3,
permite hacer cosas interesantes. Se puede construir el conjunto
de los deslizamientos de superficies clásicas (esfera, plano proyectivo, toro
y botella de Klein). ¿Cuántas clases posee este conjunto?
Ya vimos
que la esfera y el plano proyectivo pertenecen a una misma clase (al igual que la superficie de Boy derecha y la superficie de Boy izquierda). ¿Cuántas clases de deslizamiento tiene el toro? Creo,
salvo error, que este problema aún no está resuelto.
¿Se puede, mediante operaciones C, pasar de una clase de inmersión
del toro a otra, o no? Intuitivamente, tendería a responder que no, pero se trata
simplemente de una
conjetura.
Una
construcción no puede demostrar una imposibilidad, sino ilustrar una posibilidad. Si alguien encuentra construcciones que permitan saltar de una clase a otra, el teorema quedará de facto
demostrado, pero el hecho de que no se encuentren construcciones que lo permitan
no constituye por sí mismo una demostración. La ausencia de prueba
no es prueba de ausencia. Decir que existen cuatro clases de deslizamiento
del toro en R3, o decir que solo existe una, son simples
conjeturas,
creencias sin más, en este momento.
Resulta
que Smale demostró que el volteo de la esfera era posible antes de que Phillips diera la primera construcción. Podría haber sido al revés. Pero ¿quién habría tenido la idea de emprender una empresa así, totalmente
contraria a nuestra intuición geométrica?
La transformación
C permite transformar una esfera en un "Cross cap", luego en una superficie de Boy,
pasando por la superficie romana de Steiner. Véase el artículo. ¿Permite transformar
un toro en una botella de Klein? Lógicamente sí, pero no tengo aún la respuesta
a esta pregunta.
Por el camino,
¿por qué hablar de "plano proyectivo"? Los objetos (unilaterales) mostrados
son finitos. Respuesta de Souriau:
- En un plano hay "la recta del infinito". Simplemente se pega
ese plano según la recta del infinito.
Esta, como es natural,
es una curva cerrada.
En el Topologicon se encuentra un pequeño dibujo animado, un "feuilletable", que
muestra cómo una cinta de Möbius con tres medias vueltas puede transformarse
en una superficie de Boy. La última imagen muestra esta superficie, menos un disco.
Basta añadirlo para completar la superficie. Una superficie de Boy es, pues, una cinta de Möbius más un disco. Ejercicio: usando las herramientas del Topologicon,
recalcule entonces su característica de Euler-Poincaré (que vale 1).
A la inversa,
se podría partir del disco y hacerlo crecer, atravesándose a sí mismo,
hasta que se pegue sobre esa cinta de Möbius con tres medias vueltas,
lo cual es otra construcción.
He
encontrado los dibujos en la comunicación de 55 páginas que presenté
en el coloquio lacaniano de psicoanálisis de Aix-en-Provence (4 y 5 de abril de 1987),
dedicada a la "Perversión", y que figura en las actas editadas
por sus organizadores. Usaré este texto en un documento futuro titulado
"JPP chez Lacan".
Primera
imagen: el disco en proceso de contorsionarse.
A continuación,
inicio de la creación del conjunto de auto-intersección:
Figura
siguiente: aparición del punto triple:
Dejo de aplicar sombreados, ya que la superficie está a punto de convertirse en unilátera.
A continuación,
la superficie está lista para pegarse a sí misma, a lo largo
de su borde.
Allí,
se ha representado la cinta de Möbius con tres medias vueltas, completando
la superficie:
Figura
siguiente: la misma cinta.
Luego,
la superficie de Boy, completamente formada. No se puede decir, respecto
a las imágenes presentadas en el Topologicon, "que se vea por abajo", ya que una superficie de Boy no tiene ni cola ni cabeza. Digamos que tal como se presenta, se ve su punto triple.
A continuación,
su conjunto de auto-intersección:
Así que
ha visto, ante sus ojos, cómo el plano se pliega sobre su "recta del infinito".
De ahí su nombre: "plano proyectivo", bastante extraño a primera vista. Tal vez sea
la primera vez que se muestra al público el infinito tan cerca.
Estas
imágenes se habían compuesto hace una buena veintena
de años, y este sitio web, o este CD, ofrecen finalmente una posibilidad
de mostrarlas. El lector se preguntará quizás por qué no aparecieron en "Pour la Science" o "La Recherche". No fue por falta de enviar artículos a estas revistas, pero las redacciones no encontraron el tema interesante.
Espero
que con esta "caja de herramientas geométricas" se apresuren a inventar
muchas superficies nuevas. Aquí hay una, imaginada por la señora Ivars. Tome una esfera y empuje hacia dos direcciones diametralmente opuestas, dos segmentos de igual longitud,
hasta el contacto, imaginando que estos están soldados sobre dos varillas, así:
Cuando
los segmentos alcanzan el contacto, se produce una "cirugía". Hay una intersección de hojas, a lo largo del segmento, y dos puntos cónicos en cada extremo. A continuación, esta superficie, en corte.
La misma,
en perspectiva:
En el catálogo de herramientas para fabricar superficies, un "elemento de fontanería":
Cuando
se hace penetrar un fluido por un orificio, que hace de entrada,
éste sale circulando por el
exterior
del tubo de salida. Pero se puede usar la salida como entrada. El efecto es entonces
el mismo. El objeto es una especie de operador geométrico
que transforma el exterior en interior.
Al cerrar
este "acoplamiento" sobre sí mismo se obtiene una botella de Klein:
Pero
aquí hay otro montaje:
El mismo,
en perspectiva:
La superficie
es entonces bilátera. ¿Cuál es?
Mediante
una homotopía regular, una sucesión continua de inmersiones, se
transforma en esto:
Ha reconocido una caja con asa, pero que no se puede abrir
desde el exterior. Se puede entonces transformar el objeto. Basta pasar
una cuerda por el agujero y tirar hacia uno mismo:
El resultado
es:
Es un toro.
Ahora,
ustedes mismos se las arreglen con el montaje siguiente:
fabricado
con tres de estos "acoplamientos".
Veremos,
en otro artículo, la utilidad de estos "acoplamientos" en el caso del volteo de la esfera.