Problemas de geodésicas.
Sabes trazar geodésicas sobre una superficie usando cinta adhesiva. Pregunta: ¿bajo qué condiciones puede una geodésica trazada sobre un cono autointersectarse?
Tomemos un punto sobre un cono de revolución y hagamos partir una geodésica en una dirección perpendicular a una de sus generatrices:
Consideremos la generatriz simétrica respecto al eje de revolución de este cono (cualquier cono puede siempre deformarse en un cono de revolución sin alterar el dibujo de sus geodésicas). En el caso del dibujo anterior, obtendríamos esto al aplanar nuestro cono:
Sabemos que el ángulo de corte representa entonces la cantidad de curvatura angular concentrada en el vértice del cono. La geodésica se transforma entonces en una recta del plano, ya que la superficie es desarrollable.
Vemos que para que una geodésica pueda autointersectarse, el ángulo de corte debe ser superior a 180°, es decir, que el cono deba ser lo suficientemente puntiagudo.
Al reconstruir nuestro cono, obtendremos:
¿Puede una geodésica de un cono "llegar al vértice"?
Solo las generatrices del cono pueden hacerlo. Cualquiera que sea la geodésica trazada sobre un cono, por muy cerca que esté del vértice, nunca podrá acercarse más a él, aunque parezca "trazada para acercarse". Basta con unir el vértice del cono con el punto más cercano a esta geodésica. La generatriz cortará entonces a la geodésica en ángulo recto. Podremos realizar un corte según la geodésica opuesta y aplanarla.
Por muy puntiagudo que sea nuestro cono, solo obtendremos intersecciones sucesivas.
¿Pueden las geodésicas autointersectarse indefinidamente? Al desarrollar el cono, todo parece ocurrir como si la geodésica "rebotara" sobre la generatriz que une el vértice con el punto de encuentro.
Arriba, obviamente, el "rebote" envía ambas partes de la generatriz en direcciones tales que ya no podrán volver a superponerse. Para tener múltiples intersecciones se necesita un cono muy puntiagudo.
Pero en cada "rebote", el ángulo se abre y finalmente queda atrapado en el sector 2π − q. El número de intersecciones es finito.
Las generatrices del cono constituyen una familia muy especial. Pero, ¿qué llamamos cono?
Podemos considerar que el objeto "cono" corresponde al dibujo de la izquierda. Las geodésicas-generatrices son entonces semirrectas.
Pero también podemos considerar que un cono corresponde al objeto de la derecha. En estas condiciones, ¿qué llamamos geodésica? Si es el camino más corto que une dos puntos, podríamos encontrarnos con situaciones como esta:
Podríamos optar por una estructura cónica donde cada generatriz se prolonga según una segunda generatriz situada en el segundo semicono y solo una, formando un conjunto continuo. Podemos imaginar puntos cónicos en un espacio tridimensional (ver artículo 11 de Geometrical Physics A).
Otros tipos de singularidades.
Los puntos cúspides son puntos singulares. Podemos identificar otros. Por ejemplo, los "puntos cónicos", donde los puntos de retroceso de la superficie, "puntos de espinas".
A la izquierda, una esfera con un punto cónico. A la derecha, un punto de espinas.
Creamos un punto cónico con un punzón. Podríamos llamar a esta modificación "creación de punto cónico" P y a su inversa P⁻¹.
Asimismo, la creación de un punto de espinas correspondería a la modificación H. En realidad, la creación del punto de espinas sigue a la del punto cónico. Es un punto cónico cuyo ángulo en el vértice se ha vuelto cero. Por tanto, la modificación que conduce al punto de espinas local de una superficie sería P H, y su inversa: H⁻¹ P⁻¹.
Hay otras formas de modificar una superficie, por ejemplo creando un diedro. La creación de un diedro será la modificación D. Esta puede implementarse independientemente de cualquier otra, siempre que se refiera a un trayecto cerrado (sobre una superficie regular). El ejemplo más sencillo es la esfera. Podemos crear un "pliegue" a lo largo de su ecuador, por ejemplo. De paso, este pliegue contendrá "curvatura lineal", tema ya tratado en la introducción de Geometrical Physics A.
Si, sobre una superficie regular, esta modificación afecta a un segmento, cada extremo de este sufrirá una modificación P.
Tomemos una esfera, una esfera "blanda", deformable. Metámonos dentro con un segmento, una regla rígida, y empujemos la esfera. Los dos extremos de la regla comienzan a entrar en contacto con la superficie. Efecto "punzón": aparición de pequeños puntos cónicos. Seguimos empujando. El segmento entra en contacto con la esfera, pero aún no se forma el diedro. Si está en contacto con la esfera, solo significa que existe sobre esta esfera un trayecto rectilíneo AB. Pero esto no implica automáticamente que la esfera tenga un pliegue. Podemos compararlo con el montaje de una tienda de campaña con dos postes. Instalamos los postes
Efecto de las dos modificaciones P. Creación de dos puntos cónicos A y B.
luego tensamos un cable que los une. Pero si el interior de la tienda está vacío, la tela no caerá en el nivel del cable formando un pliegue.
Tensión del cable: la superficie adquiere un segmento rectilíneo AB. Pero si el viento sopla y la tienda está ligeramente inflada, el entorno del segmento podrá conservar, a lo largo del segmento, la continuidad del plano tangente, testimonio de la vista de la tienda desde otro ángulo.
Si el viento cesa, las paredes de la tienda se hundirán bajo su propio peso. En cuanto comience el movimiento, se rompe la continuidad del plano tangente. Aparece el diedro. Modificación D.
¿A qué puede servir esto?
Antes de pasar a aplicaciones prácticas, debemos definir otra modificación. Imagina un cono: tiene un punto cónico que concentra la "curvatura angular". Si el punto cónico no forma parte de un "verdadero" cono, cuyo costado carece de curvatura, la superficie es asimilable a un cono, a pequeña distancia del punto cónico. Esto equivale a decir que en un punto cónico de una superficie existe un "cono tangente".
Pero volvamos a nuestro cono. Sin dificultad podemos hacer que dos puntos cónicos se encuentren próximos. Incluso podemos construir físicamente una superficie así, a partir de dos cortes realizados en un plano:
Las líneas que parten de A y B son simplemente "costuras" o "pegados". Podemos quitarlas:
Podemos hacer converger los puntos cónicos, en cuyo caso este "bicónico" se transformará en un cono cuyo vértice contendrá una cantidad de curvatura angular igual a la suma de las curvaturas concentradas en los dos puntos cónicos que hemos hecho converger.
q₁ + q₂
Por tanto, podemos considerar una nueva modificación: "confluencia de puntos cónicos":
ConfP
Con su inversa:
(ConfP)⁻¹
Ahora toma una esfera y enfréntala con ocho segmentos. Esto creará ocho diedros y dieciséis puntos cónicos. Podemos entonces hacer confluir los puntos cónicos de dos en dos y obtener... un cubo.
Sabemos ahora transformar una esfera en cubo, y viceversa. De igual modo, esto nos ayudará a construir representaciones poliédricas de superficies. Dicho esto, "inflamos" nuestro cubo, como la tela de la tienda hace un momento:
Las aristas han desaparecido. Obtenemos un resultado al que habríamos llegado al encajar ocho "estacas"...