cosmología del universo gemelo materia materia fantasma astrofísica. 2:
Métricas de estado estacionario conjugadas. Soluciones exactas. (p2)
3) Soluciones exactas internas acopladas de tipo Schwarzschild.
Consideremos el caso en que el pliegue F* está vacío y el pliegue F contiene un objeto masivo de masa M, radio ro, lleno de una densidad de masa r constante.
Esto corresponde al sistema de ecuaciones:
(12)
S = c T
(13) *S = - **c T
con T* = 0. En la teoría clásica, se deduce la solución interna de Schwarzschild, dando al tensor T la forma:
(14)
La forma de métrica elegida es:
(15)
ds² = en c² dt² - [ el dr² + r² ( dq² + sin²q dj²) ]
En los segundos miembros de las ecuaciones diferenciales, provenientes de la ecuación de campo, encontramos términos:
(16)
El segundo corresponde a la contribución de la presión al campo. Puede ser despreciada para presiones moderadas. En el caso de un gas, esto corresponde a la aproximación << c, siendo el primero la velocidad térmica. Si el cuerpo es sólido (planeta), esto significa que la contribución de la presión es pequeña, lo cual no puede afirmarse si el objeto es una estrella de neutrones. Vamos a considerar, en lo sucesivo, la hipótesis física justificada:
(17)
Entonces, la ecuación diferencial puede escribirse en una forma más simple:
(18)
(19)
(20)
c siendo la constante de Einstein:
(21)
Primero sumamos (18) y (19) y obtenemos:
(22)
Como c es negativo, esto implica que l' + n' es positivo o nulo. A partir del sistema (18) + (19) + (20), obtenemos:
(23)
(24)
(25)
Escribimos:
(26)
Combinando con (23):
(27)
m(r) es una longitud, análoga a la longitud de Schwarzschild. Recuperamos el estatus de M(r) como masa geométrica.
(24) puede resolverse. Escribimos:
(28)
o:
(29)
Introducimos:
(30)
obtenemos:
(31)
A siendo una constante. Entonces la métrica interna se convierte en:
(32)
Cuando r = ro, la métrica externa se convierte en:
(33)
o:
(34)
o:
(35)
La conexión con la métrica externa está asegurada si:
(36)
Nuestra solución interna (p » 0) se convierte en:
(37)
Observamos que realizamos desarrollos en serie según:
(38)
nuestra métrica interna y la clásica con presión no nula [7]:
(39)
coinciden asintóticamente.