cosmología de universos gemelos Materia, materia fantasma, astrofísica. 2: Métricas conjugadas en estado estacionario. Soluciones exactas. (p4)
3)Curvaturas escalares conjugadas.
A partir del sistema de ecuaciones de campo general (1) + (2), obtenemos:
(58)
R* = - R
En dos puntos conjugados M y M*, que pertenecen respectivamente a los pliegues F y F*, las curvaturas escalares R y R* son opuestas. Llamaremos geometrías conjugadas a aquellas que verifican esta propiedad. Podemos intentar ilustrar este concepto con una imagen pedagógica. Considere la figura 1: en la parte superior, un "posicón" suavizado; en la parte inferior, un "negacón" suavizado, colocados frente a frente. Un "posicón" suavizado se construye a partir de un cono truncado, unido a lo largo de un círculo a una porción de esfera (superficie con densidad constante de curvatura angular).
Fig. 1: Imagen pedagógica de las geometrías conjugadas (R = –R). La masa M se encuentra en el pliegue F. El pliegue F está vacío.
Ilustrado: un par de puntos conjugados (M, M*).
La silla de montar constituye el equivalente, para una curvatura negativa, de una porción de esfera (superficie con densidad constante de curvatura angular). Una esfera contiene una curvatura total igual a 4π. Una porción de esfera contiene una cantidad de curvatura angular q dada por:
(59)
Un cono es una superficie que contiene un punto de curvatura angular concentrada S, correspondiente a una curvatura angular positiva q > 0. Lo construimos de acuerdo con la figura 2.
Fig. 2: Construcción de un "posicón".
Definición de la curvatura angular contenida en el vértice del cono: Si se traza un triángulo formado por tres geodésicas, hay dos casos. Si no contiene el vértice, la suma de los ángulos es la suma euclidiana π. Si contiene el vértice, esta suma vale π más la curvatura puntual correspondiente q. Ver figura 3.
Fig. 3: Curvatura angular puntual positiva
situada en el vértice de un (posi)cono.
De la misma manera, podemos construir un "negacón", de la siguiente forma:
Fig. 4: Construcción de un "negacón" con curvatura angular puntual negativa, situada en S.
Podemos ensamblar un conjunto de pequeños posicones, correspondientes a curvaturas elementales dqi, y pegarlos entre sí. Ver figura 5.
Fig. 5: Conjunto de posicones elementales.
La curvatura angular es una cantidad aditiva. Si el número de elementos tiende al infinito y los dqi tienden a cero, el objeto global tiende a una superficie regular acotada. En cualquier porción de esta superficie, podemos medir la curvatura angular (la suma de los ángulos dqi). También podemos definir una densidad local de curvatura angular de la siguiente manera:
(60)
Así, este conjunto de posicones elementales ensamblados tiende a una superficie regular con un plano tangente. Si C(M) es constante y positivo en una superficie, entonces es una esfera o una porción de esfera. La integral de la densidad de curvatura angular sobre la superficie de la esfera da su curvatura total igual a 4π. Si C(M) es cero, la superficie es localmente plana (plano, pared de un cono, cilindro, por ejemplo).
Versión original (inglés)
twin universe cosmology Matter ghost matter astrophysics. 2: Conjugated steady state metrics. Exact solutions. (p4)
3) Conjugated scalar curvatures.
From the general field equations system (1) + (2) we get :
(58)
R* = - R
In two conjugated points M and M*, which belong to the folds F ans F*, the scalar curvatures R and R* are opposite. We will call such geometries conjugated ones. We can try to illustrate this concept through a didactic image. Consider the figure1. Up is a smoothed "posicone", down a "smoothed negacone", face to face. A smoothed posicone is built with a truncated cone, linked along a circle to a portion of sphere (constant curvature density surface).
**Fig. 1 : Didactic image of conjugated geometries ( R * = - R ) The mass M is in the fold F . The fold F is empty.
Shown : a couple of conjufated points (M,M).
The horse saddle is the equivalent of a portion of sphere, for negative curvature (constant angular curvature density surface). A sphere contains a total curvature equal to 4p. A portion on a sphere contains an amount of angular curvature q which is (59)
A cone is a surface with contains an (angular) concentrated curvature point S , corresponding to a positive angular curvature q > 0. We build it according to the figure 2.
Fig. 2 :** Building a "posicone".**
Definition of the angular curvature contained in the summit of the cone : If one draws a triangle with three geodesics, we have two cases. If it does not contain the summit, the sum of the angles is the euclidean sum p. If it contains the summit this sum is p plus the corresponding punctual curvature q . See figure 3 .
**Fig. **3) : Punctual positive angular curvature
located at the summit of a (posi)cone.
Similarly we can build a "negacone", as follows :
. Fig.4 :** Building a "negacone"** with punctual negative curvature, located in S.
We can build a set of small posicones, corresponding to elementary curvature dqi and glue these objects together. See figure 5.
Fig. 5 : set of elementary posicones.
The angular curvature is an additive quantity. If the number of elements tends to infinite and the dqi tend to zero, the global object tends to a bounded regular surface. On any portion of the surface we can measure the angular curvature (the sum of the angles dqi ). We can also define a local angular curvature density as follows :
(60)
Then this set of joined elementary posicones tends to a regular surface, with tangent plan. If C(M) is constant and positive on a surface, its a sphere, or a portion of a sphere. The integrated angular curvature density, over the surface of the sphere, gives its total curvature 4p. If C(M) is zero, the surface is locally flat (plan, wall of a cone, cylinder, for example). .