cosmología del universo gemelo materia materia fantasma astrofísica. 2: Métricas de estado estacionario conjugadas. Soluciones exactas. (p5)
Esta operación puede extenderse a negaconos unidos (densidad de curvatura angular negativa). Para una superficie euclidiana, C(M) = 0 en todas partes. Usando negaconos elementales y pequeñas porciones de un plano, se puede construir cualquier superficie regular, donde la densidad de curvatura angular C(M), positiva, negativa o nula, es una función continua del punto M. Ahora podemos construir un posicono truncado y unirlo a una porción de esfera. La continuidad del plano tangente se asegura si las curvaturas angulares q son iguales. Véase la figura 6.
Fig .6 : Construcción de un "posicono suavizado".
Una superficie con curvatura angular negativa constante se llama silla de caballo. Véase la figura 7. En tal superficie, se puede trazar una curva centrada en un punto P.
Fig. 7 :** Construcción de un "négacone suavizado".**
Se puede colocar un posicono suavizado y un négacone suavizado frente a frente, como se muestra en la figura 1. Los puntos conjugados M y M* tienen densidades de curvatura opuestas :
(61)
C(M*) = - C(M)
En las porciones euclidianas de las dos superficies conjugadas, estas curvaturas son nulas :
(62)
C(M*) = C(M) = 0
Obtenemos un ejemplo de geometrías conjugadas en 2D. Obviamente, al igual que en nuestros pliegues en 4D, la imagen de una geodésica de un pliegue no es definitivamente una geodésica de la otra. Véanse las figuras 8 y 9.
Fig. 8 : La imagen (compuesta por puntos conjugados) de una geodésica del posicono suavizado F no es una geodésica del négacone suavizado F.*
** ** Fig. 9 : La imagen (compuesta por puntos conjugados) de una geodésica del négacone suavizado F no es una geodésica del négacone suavizado F.* ** **
Es simplemente una imagen didáctica, pero ilustra el concepto fundamental de las geometrías conjugadas. En la relatividad general, tratamos con hipersuperficies en 4D, cuyas métricas poseen geometrías hiperbólicas, con signatura (+ - - -).
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Versión original (inglés)
twin universe cosmology Matter ghost matter astrophysics. 2: Conjugated steady state metrics. Exact solutions. (p5)
This operation can be extended to joined negacones (negative angular curvature density). For an eucliean surface C(M) = 0 everywhere. Using elementary negacones and small portions of a plane one can build any regular surface, where the angular curvature density C(M), positive, negative or zero, is a continuous function of the point M. We can now build a truncated posicone and join it to a portion of sphere. The continuity of the tangent plane is ensured if the angular curvatures q are equal. See figure 6.
Fig .6 : Building a smoothed "posicone".
A surface with constant negative angular curvature is called a horse saddle. See figure 7. On such a surface one can draw a curve centered on a point P.
Fig. 7 :** Building a "smoothed negacone".**
We can put a smoothed posicone and a smoothed negacone face to face, as shown on figure 1. Conjugated points M and M* have opposite curvature densities :
(61)
C(M*) = - C(M)
On the euclidean portions of the two conjugated surfaces these curvatures are zero :
(62)
C(M*) = C(M) = 0
We get an example of 2d conjugated geometries. Obviously, like in our 4d folds, the image of of a geodesic of a fold is definitively not a geodesic of the other one. See figures 8 and 9.
Fig. 8 : The image (composed by conjugated points) of a geodesic of the smoothed posicone F is not a geodesic of the smoothed negacone F.*
** ** Fig. 9 : The image (composed by conjugated points) of a geodesic of the smoothed negacone F is not a geodesic of the smoothed negacone F.* ** **
This is just a didactic image, but it illustrates the basic concept of conjugated geometries. In general relativity we deal with 4d hypersurfaces, whose metrics owns hyperbolic geometries, with signatures (+ - - -).
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