univers gemelo astrofísica y cosmología Materia fantasma materia astrofísica.6. Estructura espiral.(p3)
- Cómo definir las condiciones iniciales para una simulación numérica en 2D.
Construcción de una solución 2D del tipo Eddington para el par de ecuaciones de Poisson + Vlasov.
Las soluciones no uniformes (elípticas) de la ecuación de Vlasov han sido ampliamente estudiadas durante mucho tiempo en 3D. En lo que sigue, consideramos movimientos y posiciones en 2D, por lo que debemos construir la solución elíptica autoconsistente en 2D de la ecuación de Vlasov.
Escribamos la ecuación de Vlasov:
(1)
donde:
(2)
f (x , y , u , v , t ) es la función de distribución de la velocidad. La ecuación (1) se escribe en notación tensorial dyádica, en términos de la velocidad peculiar (residual o térmica) C = ( u , v ).
<V> es la velocidad macroscópica. m es la masa de una partícula.
**** es el vector posición ( x , y ).
..
Las letras en negrita representan vectores. El último término de la ecuación (2) representa el producto escalar de dos tensores dyádicos (ver referencia [20]). Introduzcamos ahora una solución 2D elíptica del tipo Eddington:
(3)
donde C es la velocidad residual, la velocidad térmica. En condiciones de estado estacionario, la ecuación de Vlasov se convierte en:
(4)
Combinando con la solución de Vlasov, obtenemos:
(5)
Se trata de un polinomio de tercer orden en las componentes u y v de la velocidad térmica C. Aparece una solución:
(6)
Entonces:
(7)
A partir de los términos de tercer orden, obtenemos:
(8)
A partir de los términos de segundo orden (9)
Combinando, obtenemos el siguiente sistema:
(10)
Sea:
(11)
Entonces:
(12)
La función de distribución se convierte en:
(13)
donde C es la componente radial de la velocidad térmica C y Cp su componente azimutal. Entonces obtenemos:
(14)
En la solución clásica (tridimensional) de Eddington, teníamos un elipsoide de velocidades cuyo eje mayor apuntaba hacia el centro del sistema. Véase la figura 6.
Fig. 6 :** Elipsoide de velocidades correspondiente** a una solución del tipo Eddington.
En la presente solución elíptica 2D del tipo Eddington, obtenemos una elipse de velocidades cuyo eje mayor es constante y apunta hacia el centro del sistema. En el centro, la elipse de velocidades se convierte en un círculo (distribución de Maxwell-Boltzmann en 2D de la velocidad). Como se mostrará más adelante, su eje mayor < Cv > (velocidad térmica radial media) es constante respecto a la distancia radial v. Su eje transversal
(velocidad térmica azimutal media) tiende a cero en el infinito. Véase la figura 7.
Fig. 7 :** Evolución de la elipse de velocidades, en la solución 2D del tipo Eddington,** en función de la distancia al centro del sistema.****
