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Prólogo.
...La física
es como un pastel:
(1)
- Primera planta: observaciones,
experimentos. - Segunda planta: ecuaciones diferenciales.
- Tercera planta: geometría
- Cuarta planta: teoría de grupos.
Los grupos gobiernan la geometría,
que engendra bellas ecuaciones diferenciales.
Con las ecuaciones diferenciales
construimos cosas, que luego se utilizan para explicar o predecir lo que llamamos
hechos físicos.
...Históricamente, los hombres comenzaron a estudiar y codificar
hechos, observaciones, realizando mediciones. Luego imaginaron leyes de conservación
y «leyes físicas». A principios de siglo empezaron a pensar
que las leyes físicas podrían tener algo que ver con la geometría.
En el mismo período, Felix
Klein se preguntó:
¿Qué
es una geometría?
Nótese que dijo «una geometría» y no «la geometría» (programa de Erlangen).
...Klein,
Lie, Cartan y otros mostraron que algo subyacía bajo la apariencia geométrica.
La geometría no era la última planta, la nec plus ultra del conocimiento en física.
De una estructura de grupo se puede construir una geometría.
En lo que sigue intentaremos
mostrar el vínculo entre grupos, geometría y física.
Por cierto, sobre los grupos, ¿qué?
...Yo
tendería a decir: lógicas. Pero la lógica es un piso cuyo último inquilino fue Kurt
Gödel, un peligroso pirómano. Con su célebre teorema prendió fuego a los muebles,
que fueron completamente destruidos. Desde esta tragedia, la habitación está desocupada.
...Por eso puse un signo de interrogación allí.
Grupos.
...¿Qué
es un grupo? En lo siguiente limitamos la investigación a los grupos dinámicos de la
física: un conjunto de matrices cuadradas (n,n) que obedecen a axiomas definidos. Estas matrices
g, elementos
de un grupo G, actúan cada una sobre otra mediante la multiplicación matricial clásica
(fila-columna). Entre estas matrices cuadradas encontramos las matrices identidad.
(1-bis)
...Un
grupo obedece a los axiomas definidos por el matemático noruego Sophus Lie.
Estos axiomas se aplican a objetos mucho más generales que los conjuntos de matrices.
Pero limitaremos nuestra mirada a este mundo peculiar y utilizaremos la multiplicación
matricial:
x
1 - Primer axioma de
la teoría de grupos:
El producto de dos elementos
g1 y g2 de
un grupo G:
(2)
g3
= g1 x g2
obedece a:
(3)
Demos un ejemplo
de un grupo de matrices, que depende de un solo parámetro a. El elemento
es:
(4)
El producto de dos elementos
da:
(5)
o:
(6)
g(a)
x
g(b)
= g( g ) = g( a
- b ) = g ( g )
Podemos escribir el producto
matricial:
(7)
que es similar a g1
y g2, es decir:
(8)
Ejemplo en contra: Consideremos el siguiente conjunto de matrices que dependen
de un solo parámetro a
(9)
El producto de dos elementos
da:
(10)
que es fundamentalmente diferente de (5).
2 - Segundo axioma
de la teoría de grupos:
En el conjunto de elementos
debemos encontrar uno peculiar, llamado elemento neutro e, que, combinado
con cualquier otro elemento, obedece a:
(11)
g x e = e x g = g
En grupos cuyos elementos
son matrices cuadradas, este elemento neutro e es siempre la matriz identidad
1.
(12)
g x 1
= 1 x g = g
Nótese que usamos tipos de letra ligeros para describir escalares y tipos de letra
en negrita para otros objetos: matrices cuadradas, de fila o de columna.
Volvamos al
primer ejemplo de grupo:
(13)
Obsérvese que:
(14)
