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Prólogo.
...La física es como un pastel:
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- Primer piso: observaciones, experimentos.
- Segundo piso: ecuaciones diferenciales.
- Tercer piso: geometría - Cuarto piso: teoría de grupos.
Los grupos rigen la geometría, que da lugar a bellas ecuaciones diferenciales.
Con ecuaciones diferenciales construimos cosas, que luego se utilizan para explicar o predecir lo que llamamos hechos físicos.
...Históricamente, la gente comenzó a estudiar y a codificar hechos, observaciones, realizando mediciones. Luego imaginaron leyes de conservación, y "leyes físicas". Al comienzo del siglo, comenzaron a pensar que las leyes físicas podrían tener algo que ver con la geometría.
En la misma época, Felix Klein preguntó: ¿Qué es una geometría?
Tenga en cuenta que dijo "una geometría" y no "la geometría" (programa de Erlangen).
...Klein, Lie, Cartan y otros demostraron que había algo oculto detrás de la apariencia geométrica. La geometría no era el último piso, el nec plus ultra del conocimiento en física. A partir de una estructura de grupo, se puede construir una geometría.
En lo que sigue, intentaremos mostrar el vínculo entre grupos, geometría y física.
Por cierto, sobre los grupos, ¿qué?
...Tendería a decir: la lógica. Pero la lógica es un apartamento cuyo último inquilino fue Kurt Gödel, un pyromaniaco peligroso. Con su teorema bien conocido, prendió fuego al mobiliario, que fue completamente destruido. Desde esa tragedia, el apartamento está vacío.
...Eso es por lo que puse un signo de interrogación allí.
Grupos.
...¿Qué es un grupo? En lo que sigue, limitamos el estudio a los grupos dinámicos de la física: un conjunto de matrices cuadradas (n,n) que obedecen a unos axiomas definidos. Estas matrices g, elementos de un grupo G, actúan unas sobre otras mediante multiplicación matricial clásica (fila-columna). Entre estas matrices cuadradas, se encuentran las matrices unitarias.
(1-bis)
...Un grupo obedece a los axiomas definidos por el matemático noruego Sophus Lie. Estos axiomas se aplican a objetos mucho más generales que conjuntos de matrices. Pero limitaremos nuestra mirada a este mundo particular y usaremos la multiplicación matricial :
x
1 - Primer axioma de la teoría de grupos :
El producto de dos elementos g1 y g2 de un grupo G :
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g3 = g1 x g2
obedece a :
(3)
Demos un ejemplo de grupo de matrices, que depende de un solo parámetro a. El elemento es :
(4)
El producto de dos elementos da :
(5)
o :
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g(a) x g(b) = g( g ) = g( a + b ) = **g **( g )
Podemos escribir el producto matricial :
(7)
lo cual es similar a g1 y g2, es decir :
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Ejemplo contrario: Consideremos el siguiente conjunto de matrices que dependen de un solo parámetro a
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El producto de dos elementos da :
(10)
lo cual es fundamentalmente diferente de (5).
2 - Segundo axioma de la teoría de grupos :
En el conjunto de elementos, debemos encontrar uno particular, llamado elemento neutro e, que, combinado con cualquier otro elemento, obedece a :
(11) g x **e = e **x **g **= g
En los grupos cuyos elementos son matrices cuadradas, este elemento neutro e siempre es la matriz unidad 1.
(12) g x 1 = 1 x g = g Tenga en cuenta que utilizamos caracteres en romano para los escalares y en negrita para los otros objetos: matrices cuadradas, filas o columnas.
Recordemos el ejemplo inicial de grupo :
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Observamos que :
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