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3 - Tercer axioma de la teoría de grupos :
Todo elemento del grupo debe poseer su inverso, denotado g⁻¹, definido por:
(15) g × g⁻¹ = g⁻¹ × g = 1
En nuestro ejemplo:
(16)
es decir: b = - a o:
(17) g⁻¹ ( a ) = g ( - a )
Aquí, el cálculo de la matriz inversa es trivial.
¿Cuál es la condición para que una matriz cuadrada dada posea su inversa?
...A toda matriz cuadrada se le puede asociar un escalar llamado determinante. Para la definición, ver una obra dedicada al cálculo lineal. Este determinante se denota: det ( g )
Además, tenemos un teorema general:
det (g₁ × g₂) = det (g₁) × det (g₂)
El determinante de una matriz diagonal es:
(18)
Por lo tanto: det ( 1 ) = 1
ya que 1 es una matriz diagonal.
De acuerdo con la definición del inverso de una matriz:
g × g⁻¹ = g⁻¹ × g = 1
Entonces:
(19)
det ( g × g⁻¹ ) = det (g) × det (g⁻¹) = 1
...Si det (g) = 0, la condición (19) no puede ser satisfecha. Los conjuntos de matrices cuyos elementos particulares tienen un determinante nulo no satisfacen el tercer axioma, y no pueden formar un grupo.
Además:
(20)
4 - Cuarto axioma de la teoría de grupos :
La multiplicación debe ser asociativa, es decir:
(21)
( g₁ × g₂ ) × g₃ = g₁ × ( g₂ × g₃ )
La multiplicación matricial es fundamentalmente asociativa.
Dimensión de un grupo :
...Como veremos, un grupo puede actuar sobre un espacio cuyos puntos están descritos por vectores columna. Por ejemplo, los puntos del espacio-tiempo (llamados "eventos") :
(22)
...Este es un espacio de cuatro dimensiones. Diferentes grupos pueden actuar sobre él. Pero la dimensión de un grupo no tiene nada que ver con la dimensión del espacio sobre el que actúa.
La dimensión de un grupo (de matrices) es el número de parámetros que definen estas matrices cuadradas.
Hemos dado un ejemplo de matrices definidas por un solo parámetro
a
Así, la dimensión de este grupo es uno.
Observe que:
(22-bis)
Nota :
No todos los grupos de matrices son conmutativos, aunque el grupo que estudiamos posee esta propiedad:
(23)
Si un tal grupo actúa sobre un vector columna correspondiente a un espacio de dos dimensiones:
(23 bis)
esto corresponde a una rotación alrededor de un punto fijo, en un plano:
(23 ter)
Esta operación es obviamente conmutativa.
Tienes tendencia a decir: "como todos los grupos de rotaciones".
...Te equivocas. Considera las rotaciones alrededor de ejes que pasan por un punto dado O. Combina dos rotaciones sucesivas, alrededor de ejes diferentes. Esto no es conmutativo. Ejercicio: demuéstralo utilizando un sistema de ejes ortogonales (OX, OY, OZ), mostrando que las rotaciones combinadas alrededor de estos ejes no forman una operación conmutativa. Toma cualquier objeto.
- Haz una rotación de +90° alrededor de OX, luego una rotación de +90° alrededor de OZ
- Vuelve a las condiciones iniciales y:
- Haz una rotación de +90° alrededor de OZ, luego una rotación de +90° alrededor de OX
Compara los resultados.
Acción de un grupo.
...Un grupo G está compuesto por matrices cuadradas g. Pueden ser multiplicadas. Diremos que un grupo puede actuar sobre sí mismo.
El grupo también puede actuar sobre un espacio compuesto por puntos descritos por vectores columna. Ejemplo:
(24)
Si escribimos:
(25)
la acción del grupo sobre este espacio se convierte en:
(26) g × r
...En este caso particular, la acción sobre el espacio se reduce a la simple multiplicación matricial. Pero el concepto de acción es mucho más general.