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El proyecto.
… Nuestro punto de partida será un grupo dinámico G, es decir, una familia de matrices cuadradas g.
… Dinámico: porque el tiempo está involucrado.
… Este grupo tiene cierta dimensión n. Puede actuar sobre un espacio X, que tiene su propia dimensión (la cual no tiene nada que ver con la dimensión del grupo, esta última siendo el número de parámetros independientes que definen cada matriz g del conjunto, que constituye el grupo G).
… Ahora necesitamos una acción, para definir un espacio sobre el cual el grupo actúa, su espacio de momentos (o espacio de impulso). Este espacio no es el espacio-tiempo en el que las partículas se supone que se mueven. Construir tal espacio nos llevará a un país extraño, que se parecerá a una tierra esquizofrénica. Pero si sigues este camino, estarás más cerca de la realidad física de lo que has estado antes.
… Una vez que dispongamos de un espacio sobre el cual jugar, y de una acción sobre la cual actuar, podremos clasificar los momentos-movimientos en especies, e identificar estas especies con las partículas elementales.
… Más arriba, indicamos que el producto de un grupo por un vector, correspondiente a SO(2) y O(2), así como a SO(3) y O(3), constituye una acción: g × r
es decir:
(166b)
Observemos que podemos escribirla de manera equivalente:
(167)
Para el grupo euclidiano orientado y el grupo euclidiano completo, debemos escribir una acción:
(168)
Pero estas acciones, así como las acciones correspondientes de los grupos dinámicos sobre el espacio, como:
(169)
no producen… nada. Solo desplazan objetos en el espacio, o en el espacio-tiempo, o en espacios más refinados (espacio de cinco dimensiones, espacio de diez dimensiones).
Debemos buscar algo "oculto bajo el grupo": su espacio de momentos (todos los grupos de matrices lo tienen) y su
acción coaduyente sobre su espacio de momentos.
que corresponde a la física real.
¿Qué es la física?
… Buena pregunta. El matemático francés Jean-Marie Souriau inventó el concepto de acción coaduyente de un grupo sobre su espacio de momentos, y lo demostró a principios de los años setenta. Este punto se desarrollará posteriormente.
… Por supuesto, el físico, una vez terminados los cálculos, preguntará:
¿Por qué?
… En otras palabras, funciona, pero ¿podemos darle un significado físico a este concepto de acción coaduyente de un grupo dinámico sobre su espacio de momentos? La respuesta parece ser no.
… Imagina que seas un estudiante de Aristóteles. De repente, tienes una intuición y inventas una nueva palabra para nombrarla:
inercia.
… Aristóteles llega. Ha sido informado por otros estudiantes de que habías inventado algo nuevo, y te pregunta:
– ¿Podrías explicarnos qué significa inercia?
No podrás hacerlo usando el vocabulario de Aristóteles. Entonces habrás experimentado un cambio de paradigma.
… Pasemos a la Edad Media. Intenta explicar una reacción química usando el vocabulario de los cuatro elementos. También es imposible…
La acción coaduyente de un grupo sobre su espacio de momentos constituye un cambio de paradigma. Es una nueva perspectiva sobre la física.
En realidad, los físicos manipulan constantemente acciones de grupos cuando hablan de "invariancia" o "leyes de conservación".
Un físico convencional planteará entonces la siguiente pregunta:
– ¿Puedes explicarme, en términos simples si es posible, qué significa la acción coaduyente de un grupo sobre su espacio de momentos?
Respondemos:
– ¿Por qué usas las leyes de conservación en física?
– Eh… porque existen cantidades conservadas: energía, masa, carga eléctrica…
– ¿Por qué están conservadas?
– ¡Pero es un principio fundamental!…
– Mi querido amigo, considera la acción coaduyente de un grupo sobre su espacio de momentos como un principio fundamental.
– ¿Qué quieres decir?
– Toda física se basa en una estructura de grupo. Si identificas el grupo, puedes construir su acción coaduyente y el espacio de momentos correspondiente. Luego, las componentes del momento se convierten en las magnitudes físicas correspondientes.
– ………
Atención. Si eres físico (incluso físico teórico…) y lees lo siguiente, experimentarás una mutación paradigmática. Después de eso, la física será simplemente… diferente.
Acciones.
¿Qué es una acción?
Algo relacionado con un grupo, que obedece los siguientes axiomas:
(170)
Por supuesto, para los grupos de matrices, la operación de composición es:
x
(multiplicación matricial fila-columna)
Para los grupos de matrices, podemos escribir:
(171)
Consideremos el vector columna:
(172)
donde x, por ejemplo, representa los vectores (173)
¿Satisface (174) los axiomas de una acción? Sean g y g' dos elementos del grupo G.
(175)
(175b)
Debemos tener:
(176) Ag(Ag'(x)) = Ag''(x)
es decir:
(177)
debido a la propiedad de asociatividad:
(178) g'' = g × g'
es efectivamente una acción del grupo.
… Observemos que hemos colocado el elemento g del grupo G a la izquierda. ¿Qué ocurre si lo colocamos a la derecha? Entonces debe combinarse con una matriz fila y.
(179) Ag(y) = y × g
¿Es una acción?