a4115
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Necesitamos:
(180)
Ag ( Ag'(y)) = Ag"(y)
Ag(y) = y × g
Ag'(y) = y × g'
Ag ( Ag'(y)) = y × g' × g
Pero:
El producto de dos matrices no es, en general, conmutativo. En consecuencia:
(181) Ag(y) = y × g
no es una acción de grupo: no satisface los axiomas anteriores. Sin embargo, corresponde a una «anti-acción»:
(182)
Para matrices:
(183)
Seguimos nuestra búsqueda de acciones y anti-acciones. A partir del vector x, podemos construir su transpuesto e intentar:
(184)
¿Se trata de una acción? Vamos a comprobarlo.
g" = g × g'
(185)
(186)
Aquí utilizamos un teorema del cálculo lineal:
(187) M⁻¹ × N = ( N × M )⁻¹
donde M y N son matrices arbitrarias (n,n). Por tanto:
(188) g'⁻¹ × g⁻¹ = ( g × g' )⁻¹ = g"⁻¹
y:
(189)
lo cual constituye efectivamente una acción de grupo. Consideremos ahora:
(190)
Ag(m) = g × m × g⁻¹
Demostraremos que se trata de una acción. Consideraremos las tres matrices siguientes.
(191)
g
g'
g" = g × g'
Ag(m) = g × m × g⁻¹
Ag'(m) = g' × m × g'⁻¹
Ag"(m) = g" × m × g"⁻¹
Debemos verificar:
(192) Ag(Ag'(m)) = Ag"(m)
Calculemos el miembro izquierdo:
(193) g × (g' × m × g'⁻¹) × g⁻¹
o bien:
(194) g × g' × m × g'⁻¹ × g⁻¹
es decir:
(195) (g × g') × m × ( g × g' )⁻¹ = g" × m × g"⁻¹
Se trata efectivamente de una acción de grupo. La llamaremos, según Souriau,
acción adjunta:
(193)
Ahora consideraremos una anti-acción del grupo sobre una matriz m.
(194) AAg(m) = g⁻¹ × m × g
Demostraremos que satisface:
(195) AAg'(AAg(m)) = AAg"(m)
Calculemos el miembro izquierdo:
(196) g'⁻¹ × (g⁻¹ × m × g) × g
o bien:
(197) g'⁻¹ × g⁻¹ × m × g × g'
es decir:
(198) (g × g')⁻¹ × m × ( g × g' )
o bien:
(199) g"⁻¹ × m × g"