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Necesitamos:
Acciones duales.
Hemos construido, arriba, una acción:
(200)
y una anti-acción:
(201)
La primera puede referirse a cualquier vector columna m:
(202) m' = g x m
y la segunda a cualquier vector fila n:
(203) n' = n x g-1
m pertenece a un cierto espacio M
n pertenece a otro espacio N.
Formar el escalar:
(204) S = n m Obsérvese que:
(205) n' **m' **= n x g-1 x g x m
...Diremos que las dos acciones consideradas son duales. De la misma manera, los dos espacios M y N, a los que pertenecen m y n, son espacios duales: N = M* o M = N*
Normalmente, se dice que si m es un vector, n es su covector.
El prefijo co es característico de la dualidad. Como señaló Souriau, la dualidad existe en política y añade:
- La dualidad estaba presente en el marxismo-leninismo desde el principio. Piense en el comunista y el múnist.
Adoptemos otra perspectiva. Supongamos que tengamos una acción y queramos construir su dual.
Esquemáticamente:
(206)
...Para formar un producto escalar con el vector columna m, n debe ser un vector fila. Por lo tanto, estos dos vectores deben estar definidos por el mismo número de escalares:
(207)
luego buscamos la acción dual:
(208)
n' = Ag(n) de tal manera que el producto escalar:
(209)
permanezca invariante. Debe tenerse:
(210)
n' m' = n m Tenemos:
(211) m' = g x m
(212) Ag(n) x g x m = n m
cuya solución es:
(213) Ag(n) = n x g-1
**Hacia la construcción de la acción esencial, o acción coadjunta de un grupo sobre su espacio momento **(después de Souriau).
Buscamos una acción del grupo sobre su "espacio momento". Lo vamos a construir como la dual de una anti-acción:
(214) AAg(m) = g-1 x m x g
...En la sección anterior, m era un vector. Pero en (214), se trata de una matriz. Vamos a tomar una matriz que depende de cierto número de parámetros: { m1 , m2 , . . . . , mn }
Debemos imaginar un conjunto dual de escalares: { n1 , n2 , . . . . , nn }
para que:
(215)
Esquemáticamente:
(216)
Índice Teoría de grupos dinámicos
Versión original (inglés)
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We need :
Dual actions.
We have built, above, an action :
(200)
an anti-action :
(201)
The first can refer to any column vector m :
(202) m' = g x m
and the second to any line vector n :
(203) n' = n x g-1
m belong to a certain space M
n belongs to another space N.
Form the scalar :
(204) S = n m Notice that :
(205) n' **m' **= n x g-1 x g x m
...We will say that the two considered actions are dual. Similarly the two spaces M and N, to which belong m and n are dual spaces : N = M* or M = N*
Usually, we say that if m is a vector, n is its covector.
The prefix co is typical of the duality. As noticed by Souriau, the duality exists in politics and he adds :
- The duality was present in the Marxism Leninism, from the begining. Think about the munist and the communist.
Take another point of view. Suppose we have one action, and we want to build its dual.
Schematically :
(206)
...In order to form a scalar product with the colum-vector m , n must be a line-vector. Then these two vector must be defined by the same number of scalars :
(207)
then we search the dual action :
(208)
n' = Ag(n) so that the scalar product :
(209)
be invariant. We must have :
(210)
n' m' = n m We have :
(211) m' = g x m
(212) Ag(n) x g x m = n m
whose solution is :
(213) Ag(n) = n x g-1
**Towards building the essential action, or coadjoint action of a group on its momentum **( after Souriau ).
We search an action of the goup ont its "momentum space". We are going to built it as the dual of an anti-action :
(214) AAg(m) = g-1 x m x g
...In the preceding section m was a vector. But in (214) it is a matrix. We will take a matrix, which depends on a certain number of parameters : { m1 , m2 , . . . . , mn }
We must imagine a dual set of scalars : { n1 , n2 , . . . . , nn }
so that :
(215)
Schematically :
(216)