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Elección de la matriz m.
... Un grupo G puede compararse con una cierta superficie. Depende de un cierto número de parámetros. Sea P este espacio de parámetros del grupo y p un punto de este espacio. El número de estos parámetros pi es la dimensión del grupo.
(217)
Mostrado: el elemento neutro e (la matriz unidad 1).
Podemos dar un incremento d p:
(218)
... Luego, se deriva la matriz g, que es un elemento del grupo. Se obtiene una matriz cuadrada dg que no pertenece al grupo. Se le llama el vector tangente al grupo. Estos vectores tangentes forman lo que se llama la álgebra de Lie del grupo (que no es realmente un álgebra, por cierto).
Elegimos derivar cerca del elemento neutro:
(219)
y elegimos la siguiente anti-acción:
(220) AAg(m) = g⁻¹ x dg(g=e) x g
Observación:
¿Por qué elegimos el vector tangente al grupo en g = 1?
... Podríamos usar una forma más general, un vector tangente dg en cualquier punto del grupo. Obtendríamos el mismo resultado, pero los cálculos serían mucho más tediosos.
La dimensión del grupo es n. La matriz g depende de n parámetros { pi }.
El elemento de la álgebra de Lie dg(g=e) depende del mismo número de parámetros { d pi }.
El cálculo de la anti-acción anterior proporcionará la aplicación:
(221) { d pi } -----> { d pp'i }
Introducimos el mismo número de escalares: { J i }
Llamamos a este conjunto el momento J del grupo. J = { J i }
Es un conjunto de n magnitudes, n escalares. A veces, podemos expresarlo en forma de matriz (acción de Poincaré sobre su momento).
{ J i } es el vector cotangente { d p i } al vector tangente del grupo. La dualidad da:
(222)
A partir de esta conservación del producto escalar, si conocemos la aplicación:
(223) { d p i } -----> { d p' i }
podemos construir la aplicación dual:
(224) { J i } -----> { J 'i }
Esta es la acción esencial que buscamos, y Souriau la llama la acción coadjunta del grupo sobre su espacio de momentos.
La mejor forma de ilustrar este concepto es dar un ejemplo:
Acción coadjunta del grupo de Poincaré sobre su espacio de momentos Jp.
Más arriba, presentamos el grupo de Lorentz generalizado. Al elegir:
(225)
obtenemos el grupo de Lorentz L cuyo elemento L obedece a la definición axiomática:
(226)
El vector espacio-tiempo es (227)
Con c = 1, obtenemos la forma cuadrática elemental, la métrica de Minkowski:
(228)
La matriz inversa es (229)
Introduzcamos ahora una traslación espacio-tiempo:
(230)
construimos el elemento gp del grupo de Poincaré Gp de la siguiente manera:
(231)
Ejercicio: demostrar que se trata de un grupo y calcular la matriz inversa:
(232)
El elemento de la álgebra de Lie es (233)
y la anti-acción:
(234) dgp' = gp⁻¹ x dgp x gp
Observamos que
(235) G d L
es una matriz antisimétrica. Llamémosla:
(236)
de donde:
(237)
Sea:
(238)
a partir de ahí, podemos construir la anti-acción:
(239) dgp' = gp⁻¹ x dgp x gp
lo que nos da la aplicación:
(240)
(240b) (240c)
es la aplicación buscada:
(241)