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Partículas con espín.
...El grupo de Poincaré describe el movimiento relativista de un objeto puntual. De la misma forma, el grupo de Bargmann describe el movimiento no relativista. Las componentes del momento aparecen como cantidades puramente geométricas. Es una geometrización de la física. Los físicos están familiarizados con la energía E y el vector de impulso p. Pero pueden estar un poco confundidos por los otros dos objetos: el "paso" f y el vector de espín l. La forma de las componentes del momento depende de la elección de las coordenadas. ...Cada grupo dinámico tiene su espacio de momentos y su acción coadunta sobre este espacio. Si, en lugar de elegir primero el mundo relativista (grupo de Poincaré), hubiéramos elegido el mundo no relativista, habríamos tenido que recurrir al grupo de Bargmann. Para los detalles de cálculo, véase mis clases sobre grupos. El grupo de Bargmann es una extensión no trivial del grupo de Galileo: (272)
Como puede ver el lector, este grupo actúa sobre un espacio de cinco dimensiones:
**r **: espacio
t : tiempo
z : una variable adicional.
...Estas cuestiones relativas a las variables adicionales se tratarán más adelante. En este sitio, se ha dado el cálculo completo de la acción coadunta del grupo de Poincaré arriba. También se podría derivar el cálculo de la acción coadunta del grupo de Bargmann sobre su espacio de momentos. Paradójicamente, el cálculo en el mundo no relativista es un poco más complicado que en el mundo relativista. El resultado es el siguiente: (273)
El físico reconoce algunos objetos familiares, como la velocidad: (274)
y la energía cinética: (275)
m v es el impulso. ¿Velocidad con respecto a qué? Un grupo cambia los parámetros del movimiento, da a una partícula una velocidad v y una energía cinética E. Se puede adoptar la interpretación inversa, y considerar que un grupo es un punto de vista particular sobre algo, sobre una partícula. Si consideramos el grupo SO(3), las matrices a, esto significa "visto desde otro ángulo". Si consideramos el grupo O(3), las matrices a, esto añade la posibilidad de observar "la cosa" a través de un espejo.
El vector de traslación (276)
del grupo de Euclides añade "visto desde otro lugar".
En los grupos dinámicos, la presencia de una velocidad v en el grupo significa que el observador se mueve. La traslación temporal e = Dt significa que el observador ve la cosa después de un cierto retraso. El vector de traslación Dr y el retraso temporal Dt pueden combinarse en un vector de traslación espacio-temporal: (277)
Mire las fórmulas, del grupo de Bargmann, vemos que:
m' = m
Sin importar el punto de vista, la masa permanece inalterada.
Simplifiquemos un poco este "punto de vista", eligiendo a = 1.
La acción coadunta se convierte en: (278)
...La acción coadunta indica el cambio de los parámetros del movimiento. Si consideramos que pasamos de una situación estacionaria a una no estacionaria, las condiciones iniciales corresponden a:
E = 0 (energía nula)
**p **= 0 (impulso nulo, velocidad nula)
"paso" f = 0
Entonces la acción coadunta da: (279)
"Considerar" debe leerse en su sentido etimológico.
Un oficial de justicia dice: - Hacer un inventario y un levantamiento.
...Una visión estática (v = 0) de las cosas corresponde al grupo de Euclides. El oficial de justicia observa las cosas a una distancia c. Observa los hechos en el momento en que ocurren (Dt = 0). Eventualmente, observa desde un cierto ángulo (a distinto de 1).
...Un general sobrevolando un campo de batalla en avión, es una especie de oficial de justicia que observa las cosas desde un punto de vista móvil (desde un avión volando a la velocidad v). ...Pero un general, en su cuartel general, viendo una película tomada por un avión no tripulado, un dron, algunas horas antes, dice: - Considerando el objetivo, tal como era una hora antes (Dt no nulo), visto desde un punto de observación en movimiento (v no nulo), desde una altitud de cinco mil pies (c no nulo), volando a la velocidad v y tomando la foto desde un cierto ángulo (a distinto de 1).
...Un objetivo no tiene velocidad, posición o orientación definidas, incluso si se supone que es un edificio "fijo". Todo es relativo. Incluso la Tierra, el Sol, nuestra galaxia se mueven en el espacio.
...El "polo norte" de la Tierra difiere del del Sol en 23°, y cambia con el tiempo (26 000 años), debido a la precesión de los equinoccios. El norte indicado por el Sol (su propio eje de rotación) no es el mismo que el indicado por nuestra galaxia, la Vía Láctea, que tiene su propio movimiento de rotación (diferencia de 90°). Incluso una galaxia se mueve a trescientas millas por hora. ¿Con respecto a qué? Con respecto a los demás. Eso es todo lo que se puede decir. El grupo corresponde a dos puntos de vista diferentes.
...Si considero que el objeto está inmóvil, fijo en el espacio y el tiempo, y no tiene movimiento de rotación, todo lo que puedo decir es:
- Si me alejo a una distancia c.
- Si observo la cosa volando a la velocidad v.
- Si la información proveniente de esta cosa me llega con un retraso temporal Dt.
*Con respecto a mí *:
---> La masa del objeto no se modifica.
----> Le atribuyo al objeto un impulso mv, considerado como aparente.
-----> El objeto adquiere un "paso" **f **= m [ c - v Dt ]
-----> Adquiere un espín (279b)
Escríbalo de manera más explícita: (280)
(281)
(282)
o: (283)
Se pueden considerar las tres componentes independientes de la matriz de espín l como las componentes de un vector: (283b)
...Aunque el producto vectorial no haya sido definido en nuestro espacio, es decir, no le hayamos asignado una orientación derecha-izquierda, podemos considerar la última expresión como un producto vectorial. (284)
...El v invertido indica el producto vectorial. Vemos que la última línea de las fórmulas que dan la acción coadunta corresponde a: (285)
l es una matriz, no un vector. Pero, según la notación elegida, las letras en negrita indican indistintamente una matriz o un vector.
Este vector comienza a parecerse a algo familiar para el físico: el momento cinético.
Index Teoría de grupos dinámicos
Versión original (inglés)
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Particles with spin.
...The Poincarés' group describes the relativistic movement of a point-like object. Similarly the Bargmann group describes the non-relativistic movement. The components of the moment arise as pure geometric quantities. It's a geometrization of physics . The physicists are familiar to the energy E and impulsion vector p. But they can be a little bit puzzled by the two other objects : the passage f and the spin vector l . The form of the momentum's components depends on the choice of coordinates. ...Each dynamic group owns its momentum space and coadjoint action on this momentum space. If, instead chosing at first the relativist world (Poincaré's group) we had chosen the non-relativistic world, we would have to refer to the Bargmann's group. For computational detail see my lectures on groups. The Bargmann group is a non-trivial extension of the Galileo's group : (272)
As the reader can see, this group acts on a five dimensional space :
**r **: space
t : time z : an additional variable.
...These questions of additional variable or additional variables will be treated further. In this site full calculation of the coadjoint action of the Poincaré group has been given above. One could also derive the calculation of the coadjoint action of the Bargmann's group on its momentum. Paradoxically, the calculation in the non-relativist world is somewhat more complicated than the one in relavistice world. The result is the following : (273)
The physicist identifies somes familiar objects, like the velocity : (274)
and kinetic energy : (275)
m v is the impulsion. Velocity with respect to what ? A group changes the parameters of the movement, gives to a particle a velocity v and a kinetic energy E . We can choose the opposite interpretation, and consider that a group is a peculiar point of view on something, on a particle. If we consider the group SO(3), the matrixes a, it means "seen along another angle of view". If we consider the group O(3), matrixes a, it adds the possibility to observe the "thing" through a looking glass.
The translation vector (276)
of the Euclid's group adds "seen from elsewhere".
In dynamic groups, the presence of a velocity v in the group means that the observer moves. The time-translation e = Dt means that the observer sees the thing after some delay. The translation vector Dr and the time delay** **Dt can be put together in a space-time translation vector : (277)
Look at the formulas, from Bargmann's group, we see that :
m' = m
Whatever is the point of view, the mass in unchanged.
Let us simplify a little bit this "point of view", choosing a = 1.
The coadjoint action becomes : (278)
...The coadjoint action indicates the change in the movement's parameters. If we consider we pass from a steady situation to a non-steady situation, the inital conditions correspond to :
E = 0 ( zero energy )
**p **= 0 ( zero impulsion, zero velocity )
"passage" f = 0
The the coadjoint action gives : (279)
"To consider" must be read in its etymologic meaning.
A process server says : - Drawing up a survey cum inventory.
...A static (v = 0) vision of things, corresponds to the Euclid's group. The process server observes things at distance **c **. He observes facts at the time they happen (Dt = 0). Eventuallly he looks from a certain angle (a different from 1).
...A general, flying over a battle field, in a plane, is some sort of a process server, who observes things from a moving point of view (from a plane cruising at velocity v). ...But a general, in his headquarters, looking at a movie taken by a pilotless plane, a drone, some hours before, says : - Considering the target, as it was one hour before (non zero Dt), seen from a moving point of observation (non zero v) , from an altitude of five thousand feet (non zero c), cruising at velocity v and taking picture through a certain angle (a being different from 1).
...A target has no defined velocity, or position, or orientation, even if it is supposed to be a "fixed" building. Everything is relative. Even the Earth, the Sun, our galaxy move over space.
...The "north pole" of the Earth is different from the "north pole of the Sun", from 23°, and it changes in time ( 26,000 years), due to equinox precession. The north indicated by the sun ( its own rotation axis ) is not the north indicated by our galaxy, the milky way, which has its own spining movement ( 90°'s gap ). Even a galaxy moves, at a trhree hundred miles per hour. With respect to what ? To the other ones. That's all we can say. The group corresponds to two different points of view.
...If I consider that the object is steady, fixed in space and time, and owns no spining movement, all that I can say is :
- If I move off at distance c . - If I observe the thing, when cruising at velocity v . - If the information, coming from this thing, joins me with a time-delay Dt.
*With respect to me *:
---> The mass of the object is not modified.
----> I give the object an impulsion mv, considered as an apparent one. -----> The object gets a "passage" **f **= m [ c - v Dt ] ----> It gets a spin (279b)
Write it in a more explicit way : (280)
(281)
(282)
or : (283)
One may consider the three independent components of the spin matrix l as the component of a vector : (283b)
...Although the vectorial product has not been defined in our space, i.e : we did not give space a right-left orientation, we can consider the last expression as a vectorial product. (284)
...The reversed v indicates the vectorial product. We see that the last line of the formulas giving the coadjoint action corresponds to : (285)
l is a matrix, not a vector. But, according to the chosen notation, bold letters indicates indifferently a matrix or a vector.
This vector begins to look like something familiar to the physicist : the kinetic momentum .