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Recordemos las componentes del grupo de Poincaré:
E: energía
p: impulso
f: paso
l: matriz de espín.
Para mantenernos cerca del texto de Souriau, llamemos
-
Ln al elemento de la componente neutra Ln del grupo completo de Lorentz L.
-
Ls al elemento que invierte el espacio.
-
Lt al elemento que invierte el tiempo.
-
Lst al elemento que invierte tanto el espacio como el tiempo.
Siendo C el vector de traslación espacio-temporal, obtenemos las siguientes componentes del grupo de Poincaré:
gp ( Ln , C): elemento de la componente neutra Gpn.
gp ( Ls , C): elemento de la componente Gps, que invierte el espacio.
gp ( Lt , C): elemento de la componente Gpt, que invierte el tiempo.
gp ( Lst , C): elemento de la componente Gpst, que invierte ambos.
La acción coadunta es: (313)
P es el cuadrivector:
(314)
Tenemos cuatro matrices características: (315)
con l = ± 1 y m = ± 1.
Ln = L ( l = 1 ; m = 1)
Ls = L ( l = - 1 ; m = 1)
Lt = L ( l = 1 ; m = -1)
Lst = L ( l = - 1 ; m = -1)
(316)
(317)
(318)
Nos interesamos por C = 0 (319)
de donde l' = l y f' = l m f
y: (320)
gp ( Ln , C): I E → E; p → p; f → f; l → l
gp ( Ls , C): I E → E; p → -p; f → -f; l → l
gp ( Lt , C): I E → -E; p → p; f → -f; l → l
gp ( Lst , C): I E → -E; p → -p; f → f; l → l
Las inversiones no modifican la matriz de espín l.
Al contrario, la inversión T y la inversión de energía son sinónimos.
E → -E (podríamos llamarla una "simetría E").
El espín s, al igual que el módulo del vector de espín s, es simplemente un número, inalterado por la acción de todas las componentes del grupo, ya sean ortocronas o anticronas. ...La energía en reposo de una partícula es mc². Como vemos, la inversión de masa va acompañada de la inversión del tiempo. Pero la inversión del espacio no cambia ni la energía ni la masa.
Souriau denomina a las dos primeras componentes conexas del grupo completo de Poincaré:
Gpn, Gps
las componentes ortocronas (Gpn es la componente neutra).
Y a las otras dos: Gpt, Gpst
las componentes anticronas. Esto plantea el problema de las masas negativas. ¿Existen? Si es así, ¿qué ocurre con la colisión entre partículas de masas y energías opuestas:
- mc² y - mc²
...Observemos que esto no corresponde a la llamada "aniquilación" de una pareja partícula-antipartícula. En la colisión de estas últimas se obtiene energía radiante, fotones. El resultado de la colisión entre una partícula de energía positiva y otra de energía negativa debería ser mucho más perturbador, ya que debería ser nulo: nada.
...¿Qué es la Naturaleza, qué son las partículas? En este enfoque partimos de un grupo dado: el grupo de Poincaré. Luego construimos la acción de este grupo sobre su espacio de momentos. Este espacio de momentos está formado por puntos. Cada punto representa un movimiento de uno de los objetos geométricos que componen el espacio asociado al grupo.
...En lo sucesivo demostraremos que el grupo de Poincaré no puede asumir todas las características de las partículas.
...La dimensión del grupo de Poincaré es 10.
Por tanto, la dimensión del espacio de momentos también es diez. (321) J = { E, p, f, l }
Si elegimos un sistema de coordenadas ligado a la partícula, f = 0.
En resumen, las únicas características que surgen naturalmente del grupo de Poincaré, como magnitudes geométricas, son:
Para una partícula de masa nula:
- Su energía – Su espín y su helicidad
Para una partícula de masa no nula:
- Su masa en reposo – Su espín.
Las demás características:
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Carga eléctrica
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Carga bariónica
-
Carga leptónica
-
Carga muónica
-
Carga tauónica
-
Factor giromagnético
y el hecho de que esta partícula pueda corresponder al mundo de la materia o de la antimateria no están "contenidas" en el grupo de Poincaré. Enriqueceremos más adelante el grupo para tratarlas.
Actualmente, el grupo no "construye" partículas ni antipartículas. Pero, si se completa con sus dos subconjuntos (las dos componentes ortocronas más las dos componentes anticronas), sí "construye" como especies distintas partículas de energía positiva y de energía negativa.
...Si el grupo completo de Poincaré "gobierna" el universo, entonces las energías positivas y negativas podrían coexistir, de modo que su encuentro produzca un fenómeno de aniquilación completa. Si el universo estuviera lleno al 50 % de partículas de energía positiva y al 50 % de partículas de energía negativa, habría un gran riesgo de que todo el universo se aniquilase a sí mismo, dejando nada:
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Ninguna partícula de energía positiva.
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Ninguna partícula de energía negativa – Ningún fotón de energía positiva
-
Ningún fotón de energía negativa.
Nada. Nada en absoluto. ¡Qué lío!
...Como sugiere Souriau, Dios, en su sabiduría infinita, habría creado únicamente partículas de energía positiva y fotones de energía positiva. Asimismo, sus ángeles prohibirían el uso de las componentes anticronas del grupo de Poincaré, que estarían rigurosamente encarceladas en alguna parte.
...Pensaremos en otra posibilidad en una sección posterior.