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El grupo especial de Galileo.
...El lector encontrará esta extensión en el libro de Souriau: Structure of Dynamical Systems, Birkhäuser Ed. 1997 y, en francés, Structure des Systèmes Dynamiques, Ed. Dunod 1973.
...Un grupo puede ser extendido. Esto significa que el número de parámetros de los que depende aumentará. Calcule el número de parámetros de los que depende el grupo de Galileo. Comenzamos con la matriz de rotación en 3D:
(322)
Se trata de una matriz ortogonal:
(323)
Estas matrices forman el grupo SO(3), que es un subgrupo del grupo O(3) compuesto por todas las matrices ortogonales. Tenemos:
(324)
Recordemos la diferencia con:
(325) (325b)
son las matrices ortogonales más generales, cuyos determinantes obedecen a:
(326)
Fin de esta pausa.
El siguiente grupo de matrices cuadradas (5,5) se llamará el grupo especial de Galileo:
(327)
La matriz de rotación depende de tres parámetros libres, los ángulos de Euler. Por lo tanto, la dimensión del grupo es diez.
Utilizando las notaciones:
(328)
obtenemos:
(329)
Asociado al vector espacio-tiempo:
(330)
de manera que la acción correspondiente del grupo especial de Galileo es:
(331)
...Dado el grupo especial de Galileo, es posible calcular la acción del grupo sobre su espacio de momentos. Este cálculo no se dará aquí. El lector podrá encontrarlo en mis cursos sobre grupos, disponibles.
Demos el resultado:
(332)
Reconocemos el momento **p **y la energía E. El momento está compuesto por:
(333) JSG = { E , p , f , **l **}
...Diez cantidades escalares. Diez dimensiones para el grupo. Todavía tenemos el vector de paso **f **y la matriz antisimétrica de espín **l **(compuesta por tres componentes independientes lx , ly , lz , formando el "vector de espín").
La extensión trivial del grupo especial de Galileo.
Las siguientes matrices forman un nuevo grupo.
(334)
Introduce una nueva componente f, escalar, el "phasus" (relacionado con el mundo cuántico). La dimensión del grupo se convierte en 10 + 1 = 11.
Este nuevo grupo actúa sobre un espacio de cinco dimensiones:
(335)
z es una "dimensión adicional". Fue introducida por primera vez por el polaco Kaluza, en 1921, luego por J.M. Souriau, en 1964 (Géométrie et relativité Hermann Editeur, no traducido al inglés).
Una vez más, se puede calcular la acción coadunta correspondiente del grupo sobre su espacio de momentos. Encontramos esto:
(336)
El momento se convierte en:
(337) JTESG = { m , E , p , **f **, **l **}
...Tenemos una cantidad escalar adicional m y lo identificamos con la masa. Vemos que el grupo especial de Galileo, actuando sobre el espacio-tiempo, aporta la energía, pero no la masa, como componente del momento. Actualmente (por extensión trivial), nuestra partícula obtiene un atributo adicional, identificado con la masa, de forma muy arbitraria, y que no interactúa con las otras componentes del momento.
Index Teoría de los grupos dinámicos
Versión original (inglés)
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The special Galileo's group.
...The reader will find this extension in Souriau's book : Structure of Dynamical Systems, Birkhasuer Ed. 1997 and, in french, Structure des Systèmes Dynamiques, Ed. Dunod 1973.
...A group can be extended. It mean that the number of the parameters it depends on will be increased. Compute the number of parameters which the Galileo's group depends on. We start from the 3d rotation matrix :
(322)
It's an orthogonal matrix :
(323)
these matrixes form the groups SO(3) which a sub-group of the group O(3) composed of all the orthogonal matrixes. We have :
(324)
Recall the difference with :
(325) (325b)
are the most general orthogonal matrixes, whose determinants obey :
(326)
End of this parenthesis.
The next group of square matrixes (5,5) will be called the special Galileo group :
(327)
The rotation matrix depends on three free parameters, the Euler's angles. So that the dimension of the group is ten.
Using the notations :
(328)
we get :
(329)
Associated to the space time vector :
(330)
so that the corresponding action of the Spacial Galileo's group is :
(331)
...Given the Special Galileo's group, it is possible to compute the action of the group on its momentume space. The calculation will not be given here. The the reader can find it in my lectures of groups, available.
Let us give the result :
(332)
We recognize the momentum **p **and the energy E. The momentum is composed by :
(333) JSG = { E , p , f , **l **}
...Ten scalar quantities. Ten dimensions for the group. We still have the passage vector **f and the antisymmetric spin matrix l **(composed by three independent components lx , ly , lz , forming the "spin vector" ).
The trivial extension of the Special Galileo's group.
The next matrixes form a new group.
(334)
It introduces a new component f, a scalar, the "phasis" ( connected to quantum world ). The dimension of the group becomes 10 + 1 = 11
This new group acts on a five dimensional space :
(335)
z is an "additional dimension". It was first introduced by the Polish Kaluza, in 1921, then by J.M.Souriau, in 1964 (Géométrie et relativité Hermann Editeur, not translated in English ).
Here again, one can compute the corresponding coadjoint action of the group on its momentum space. We find this :
(336)
The momentum becomes :
(337) JTESG = { m , E , p , **f **, **l **}
...We have one more scalar m and we identify it to the mass. We see that the Special Galileo's group, acting on space time, brings the energy, but not the mass, as a component of the momentum. At the present time ( through trivial extension ) our particle gets an additional attribute, which is identified to the mass, very arbitrarly, and which does not interact with the other components of the momentum.