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Extensión no trivial del grupo especial de Galileo.
El grupo de Bargmann (1960)
Las siguientes matrices (ver mis clases sobre grupos)
(338)
forman un grupo, descubierto por Bargmann en 1960. Una vez más, actúa sobre un espacio de cinco dimensiones. Su dimensión es 11, debido a la presencia del escalar f. Se trata de una extensión no trivial del grupo especial de Galileo.
(339)
Si se calcula la acción coadunta del grupo sobre su momento, se obtiene:
(340)
...Vemos que esta acción coadunta es más fina, y que la masa interactúa con las otras componentes del momento. Hemos analizado esto anteriormente y mostrado cómo esto da un significado físico a las componentes del momento.
...Un momento es un movimiento de una partícula dada. El grupo de Bargmann describe movimientos no relativistas. Se puede considerar una partícula en reposo, sin energía, sin impulso, sin espín. Solo una masa no nula:
m
**p **= 0
E = 0
**f **= 0
**l **= 0
Utilizamos el siguiente elemento del grupo de Bargmann:
(341)
Las componentes del momento se convierten en:
(342)
...En un sistema de coordenadas ligado a la partícula, el paso **f **permanece nulo. Hemos mostrado que la matriz de espín se identifica al momento cinético.
...Aquí, lo importante es examinar la extensión trivial del grupo especial de Galileo (¿por qué "especial"? Esto se explicará más adelante). Al realizar esta extensión trivial, simplemente se añade un escalar adicional al momento.
Examinemos ahora la extensión del grupo de Poincaré:
Extensión central del grupo de Poincaré. (343)
« ep » significa « grupo de Poincaré extendido ». Lo es el elemento del subgrupo ortocrónico Lo del grupo de Lorentz completo L. Así, se puede considerar el elemento anterior como el subgrupo ortocrónico Gepo de un grupo de Poincaré extendido completo, cuyo elemento es:
(344)
Los dos actúan sobre un espacio de cinco dimensiones:
(345) ( t , x , y , z , z ).
Se puede demostrar que esta extensión no puede soportar términos no nulos en la primera fila, en lugar de 0 = ( 0 0 0 ), entre 1 y f.
...Como mostró J.M. Souriau, el método de cuantificación geométrica (método de Kostant-Kirillov-Souriau) permite obtener la ecuación de Schrödinger a partir del grupo de Bargmann y la ecuación de Klein-Gordon a partir del grupo de Poincaré extendido ( Structure des Systèmes Dynamiques, Dunod Éd. 1972). Además, esta extensión central del grupo añade un escalar adicional al momento (como en la extensión trivial del grupo de Bargmann):
(346)
Jep= { c , M , P } = { c , Jp }
Jp representa el momento clásico del grupo de Poincaré. Entonces, la acción coadunta del momento se convierte simplemente en:
(347)
El cálculo no es complicado y es similar al presentado anteriormente. Se calcula la anti-acción:
(348)
Luego, la dualidad se expresa mediante la constancia del siguiente escalar:
(349)
...Así obtenemos un escalar adicional c, que simplemente se conserva mediante la acción coadunta. Desde entonces, este escalar no había recibido interpretación física. Vamos a aclararlo todo a continuación. Obviamente, se puede extender el grupo tantas veces como se desee:
(350)
Cada vez, se añade un escalar adicional
(351) Jpe = { c 1 , c 2 , c 3 ....., M , P } Jpe = { c 1 , c 2 , c 3 ....., Jp } y la acción coadunta se convierte en:
(352)
El lector dirá: « Bien, ¿por qué no añadir 57 nuevos escalares? »
Añadamos simplemente seis y identifiquemos estos nuevos escalares a
(353)
c 1 = q (carga eléctrica)
c 2 = cB (carga bariónica)
c 3 = cL (carga leptónica)
c 4 = cm (carga muónica)
c 5 = ct (carga tauónica)
c 6 = v (coeficiente giromagnético)
El grupo actúa sobre el siguiente espacio de diez dimensiones:
(354) ( x , y , z , t , z 1 , z 2 , z 3 , z 4 , z 5 , z 6 )
es decir: espacio-tiempo más seis dimensiones adicionales.
(355)
Recordemos que este grupo se construye a partir del subgrupo ortocrónico
Lo = Ln (componente neutra) U Ls (correspondiente a la inversión espacial)
del grupo de Lorentz completo L.
El momento se convierte en:
(356)
Jpe = { q , cB , cL , cm , ct , v , Jp }
Jp siendo la parte del momento correspondiente al grupo de Poincaré Gop (subgrupo ortocrónico).
¿Cuál es el significado físico?
...Un momento pertenece a un espacio, que es una variedad n-dimensional. El grupo de Poincaré tiene diez dimensiones, por lo tanto, el momento del grupo de Poincaré está compuesto por diez magnitudes.
Luego, añadimos seis dimensiones adicionales al grupo, correspondientes a las fases adicionales:
(357)
f1 ,f2 ,f3 ,f3 ,f5 ,f5
El momento se convierte en:
(358) Jpe = { J1, J2 J3, J4, J5, J6, J7, J8, J9, J10, J11, J12, J13, J14, J15, J16 }
Decidimos que entre el conjunto de escalares
(359) Jp = { J7, J8, J9, J10, J11, J12, J13, J14, J15, J16 }
identificamos la energía E, la cantidad de movimiento p, el paso f, la matriz antisimétrica de espín l.
...E y p pueden tomar todos los valores posibles, pero los argumentos cuánticos imponen la constancia del módulo s del vector de espín (en un sistema de coordenadas ligado a la partícula), lo cual no está justificado aquí y corresponde al trabajo de Souriau.
Tenemos seis escalares adicionales:
(360) J1, J2 J3, J4, J5, J6
...Decidimos que, entre una infinidad de opciones posibles, algunas opciones discretas corresponden a partículas reales (y antipartículas). Entonces, en la 16-variedad correspondiente al espacio de momentos, seleccionamos movimientos discretos correspondientes a partículas, con números cuánticos definidos
(361) { q , cB , cL , cm , ct , v }
...Por ahora, la acción coadunta del grupo asegura simplemente la conservación de estas magnitudes, a lo largo de movimientos dados. Existen "números cuánticos pasivos" así como la masa aparece como una cantidad pasiva, cuando proviene de la extensión trivial del grupo especial de Galileo.
Index Teoría de Grupos Dinámicos
Versión original (inglés)
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Non-trivial extension of the Special Galileo's group.
**The Bargmann's group **( 1960 )
The following matrixes ( see my lectures on groups )
(338)
form a group, discovered by Bargmann in 1960. Here again, it acts on a five-dimensional space. Its dimension is 11, due to the presence of the scalar f . It's a non-trivial extension of the Special Galileo's group.
(339)
If one compute the coadjoint action of the group on its momentum, one gets :
(340)
...We see that this coadjoint action is more refined and that the mass interacts with the other components of the moment. We have analyzed that above and shown how it brings the physical meaning of the momentum's components.
...A momentum is a movement of a given particle. The Bargmann's group describes non-relativist movements. We may consider a particle at rest, with no energy, no impulsion, no spin. Just a non-zero mass :
m
**p **= 0
E = 0
**f **= 0
**l **= 0
We use the following element of the Bargmann's group :
(341)
The components of the momentum become :
(342)
...In a system of coordinates linked to the particle the passage **f **is still zero. We have show than the spin matrix identifies to kinetic momentum.
...Here, what is important is to look at the trivial extension of the Special Galileo's group (why "special" ? This will be explained further). When one performs this trivial extension, it just brings an additional scalar to the momentum.
Let us extend the Poincaré's group :
Central extension of the Poincaré's group. (343)
"ep" means "extended Poincaré's group". Lo is the element of the orthochron sub-group Lo of the complete Lorentz group L. So that we may consider the above element as the orthochron sub-group Gepo of a complete extended Poincaré's group, whose element is :
(344)
The two act of five dimensional space :
(345) ( t , x , y , z , z ).
On can show that this extension cannot stand non zero terms on the first line, instead 0 = ( 0 0 0) , between 1 and f .
...As shown by J.M.Souriau, the geometric quantification method (Kostant-Kirilov-Souriau method) brings the Schrödinger equation from the Bargmann's group and the Klein Gordon equation from the extended Poincaré's group ( Structure des Systèmes Dynamiques, Dunod Ed. 1972 ). In addition this central extension of the group adds an extra scalar to the momentum (as in the trivial extension of the Bargmann's group) :
(346)
Jep= { c , M , P } = { c , Jp }
Jp represents the calssical Poincaré's momentum. Then the coadjoint action of the momentum simply becomes :
(347)
The calculation is not complicated and is similar to the one presented above. One computes the anti-action :
(348)
Then the duality is expressed through the constancy of the following scalar :
(349)
...So that we get an additional scalar c , which is just conserved through the coadjoint action. Since now this scalar had received no physical interpretation. We are going to clear up all that in the following. Obviously we can extend the group as many time we want :
(350)
Each time, it adds an additional scalar
(351) Jpe = { c 1 , c 2 , c 3 ....., M , P } Jpe = { c 1 , c 2 , c 3 ....., Jp } and the coadjoint action becomes :
(352)
The reader will say "well, why don't we add 57 new scalars ? "
Just add six and identify these new scalars to
(353)
c 1 = q (electric charge)
c 2 = cB (baryonic charge)
c 3 = cL (leptonic charge)
c 4 = cm (muonic charge)
c 5 = ct (tauonic charge)
c 6 = v (gyromagnetic coefficient)
The group acts on the following ten dimensional space :
(354) ( x , y , z , t , z 1 , z 2 , z 3 , z 4 , z 5 , z 6 )
i.e : space-time plus six additional dimensions.
(355)
Recall that this group is built with the orthochron sub-group
Lo = Ln (neutral component) U Ls (achieving space-inversion)
of the complete Lorentz group L.
The momentum becomes :
(356)
Jpe = { q , cB , cL , cm , ct , v , Jp }
Jp being the part of the moment corresponding to the Poincaré's group Gop (orthochron sub-group).
What is the physical meaning ?
...A momentum belongs to a space, which is a n-manifold. The Poincaré's group owns ten dimensions, so that the Poincaré's group momentum is composed by ten quantities.
Then we add six more dimensions to the group, corresponding to the additional phasis :
(357)
f1 ,f2 ,f3 ,f3 ,f5 ,f5
The momentum becomes :
(358) Jpe = { J1, J2 J3, J4, J5, J6, J7, J8, J9, J10, J11, J12, J13, J14, J15, J16 }
We decide that amon te set of scalars
(359) Jp = { J7, J8, J9, J10, J11, J12, J13, J14, J15, J16 }
we identify the energy E, the momentum p, the passage **f **, the spin antisymmetric matrix l .
...E and** p** may take all possible values, but quantum arguments impose the constancy of the modulus s of the spin vector (in a system of coordonates linked to the particle), which is not justified here and corresponds to Souriau's work.
We have six more scalars :
(360) J1, J2 J3, J4, J5, J6
...We decide that, among an infinity of possible choices, some discrete choices correspond to real particles (and anti-particles). Then, in the 16-manifold corresponding to the momentum space we select discrete movements corresponding to particules, with defined quantum numbers
(361) { q , cB , cL , cm , ct , v }
...For the moment the coadjoint action of the group just ensures the conservation of these quantities, along given movements. There are "passive quantum numbers" as well as the mass appeared as a passive quantity, when arising from the trivial extension of the Special Galileo's group.