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¿Cuál es la solución?
...Si, como sugiere J.M. Souriau, Dios, en su sabiduría infinita, no hubiera creado partículas de masa y energía negativas ni impedido a los físicos utilizar elementos anticrónicos, la teoría no podría tratar las simetrías PT y CPT.
Presentamos una solución alternativa en:
J.P. Petit y P. Midy: "Geometrización de la materia y antimateria mediante la acción coadyunta de un grupo sobre su espacio de momentos. 4: El grupo gemelo. Descripción geométrica de la antimateria de Dirac. Interpretaciones geométricas de la antimateria después de Feynman y el llamado teorema CPT". Física Geométrica B, 4, 1998.
...Para evitar colisiones entre partículas de energía positiva y negativa, dividimos el espacio de evolución en dos pliegues, formando el cociente del grupo por su subgrupo ortocrono. Obtenemos una geometría gemela.
Introducimos un índice de pliegue f = ± 1
f = +1 corresponde al pliegue F
f = -1 corresponde al pliegue F*.
El grupo gemelo es:
(400)
...Siempre se trata de un grupo de ocho componentes. Vemos que los elementos (m = -1), que corresponden a la simetría PT, van acompañados de una permutación de pliegue: f -----> -f
...El espacio de momentos sigue estando compuesto por cuatro sectores, pero los sectores de energía negativa corresponden a movimientos de partículas en el pliegue F*.
(401)
Las simetrías siguientes son:
(402) Ahora podemos definir el nuevo "campo de juego". (403)
El campo de juego: un espacio de dos pliegues (F y F) asociado a un espacio de momentos de dos sectores (E > 0 y E < 0).*
(404)
Movimientos de la materia ordinaria. Acción de los elementos ortocronos del grupo, con l = 1. Cargas inalteradas.
Acción coadyunta de un elemento del grupo (l = -1; m = 1) sobre el momento asociado al movimiento de la materia normal: el nuevo movimiento corresponde a la antimateria de Dirac.
...En la figura, la línea M1 representa el movimiento de la materia ortocrona normal. Representamos líneas rectas porque nuestro grupo no tiene en cuenta los campos de fuerza, como los campos gravitatorios o electromagnéticos. Solo modela el comportamiento de partículas aisladas, puntos masivos cargados.
Elegimos un elemento en la zona gris, correspondiente a una matriz (l = -1; m = 1). El valor (l = -1) cambia los signos de todos los z i. Se vuelven negativos. La nueva trayectoria se sitúa en el segundo sector, correspondiente a la antimateria. Como l m = -1, las cargas se invierten. Pero como el tiempo no se invierte, la energía y la masa de la partícula permanecen positivas.
Esta es una descripción geométrica de (la antimateria ortocrona) después de Dirac.
...Deben explorarse otros dos sectores. En el tercero, examinamos el efecto de un elemento (l = -1; m = -1) sobre el momento y el movimiento.
(l = -1) invierte los {z i}. Según nuestra definición geométrica, este nuevo movimiento corresponde a la antimateria, porque tiene lugar en el segundo sector del espacio {z₁, z₂, z₃, z₄, z₅, z₆, x, y, z, t}.
(m = -1) da una simetría PT, invierte los signos de (x, y, z, t).
Pero (l m = +1) deja las cargas inalteradas.
Esta es la antimateria "simétrica PT", de modo que constituye una descripción geométrica de la antimateria después de Feynman.
El movimiento tiene lugar en el segundo sector del espacio, en el pliegue F*.
(406)
(l = -1; m = -1) elementos transforman el movimiento de la materia normal en movimiento de antimateria (simetría z) de un objeto simétrico PT, evolucionando hacia atrás en el tiempo. Descripción geométrica de la visión de Feynman sobre la antimateria. No coincide completamente con la de Dirac: masa negativa y energía negativa.
Los últimos elementos corresponden al sector (l = 1; m = -1)
(l = 1) → el movimiento sigue estando en el sector de la materia:
sin simetría z.
(m = -1) va acompañado de una simetría PT. La partícula evoluciona hacia atrás en el tiempo.
(l = -1): simetría C. Las cargas se invierten.
...Esta es materia simétrica CPT, por lo que corresponde a una interpretación geométrica del llamado "teorema CPT", que afirma que el simétrico CPT de una partícula debería ser idéntico a dicha partícula. Eso no es cierto. Este movimiento corresponde a un movimiento anticrónico. La partícula evoluciona hacia atrás en el tiempo, de modo que (acción coadyunta) su masa y su energía se vuelven negativas.
...El movimiento de una partícula que es el simétrico CPT de una partícula normal tiene lugar en el pliegue F*.
(407)
(l = 1; m = -1) caso. Corresponde al simétrico CPT. Pero la acción coadyunta da masa y energía negativas. El simétrico CPT de una partícula de materia es una partícula de materia, pero con masa negativa.
Índice Teoría de Grupos Dinámicos
Versión original (inglés)
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What is the solution ?
...If, as suggested by J.M.Souriau, God, in his infinite wisdom, did not create negative mass and energy particles and prevent physicist to use antichron elements, the theory cannot deal with PT and CPT symmetries.
We present a alternative solution in :
J.P.Petit and P.Midy : "Geometrization of matter and anti-matter through coadjoint action of a group on its momentum space. 4 : The Twin group. Geometrical description of Dirac's anti-matter. Geometrical interpretations of anti-matter after Feynmann and so-called CPT-theorem". Geometrical Physics B, 4, 1998.
...In order to prevent collisions between positive an negative energy particles, we split the evolution space into two folds, which forms the quotient of the group by its orthochron sub-group. We get a twin geometry.
We introduce a fold indix f = ± 1
f = +1 corresponds to the fold F
f = - 1 corresponds to the fold F*.
The Twin-group is :
(400)
...It is still a eight components group. We see that ( m = - 1 ) elements, which correspond to PT-symmetry, go with a fold commutation : f -----> - f
...The momentum space is still composed by four sectors, but negative energy sectors corresponds to particle's movements in the F* fold.
(401)
The subsequent symetries are :
(402) We can now define the new "playing field". (403)
The playing field : a two folds ( F** and F*) space, associated to a two sectors momentum space** ( E > 0** and E < **0 ).
(404)
Movements of ordinary matter. Action of orthochron elements of the group, with l = 1. Charges unchanged.
**Coadjoint action of a ( **l = -1 ; m = 1 ) element of the group on the momentum associated to the movement of normal matter : the new movement corresponds to Dirac's anti-matter.
...On the figure, the line M1 figures the movement of normal, orthochron matter. We figure straight lines because our group does not take account of force field, like gravitational or electromagnetic field. It only runs the behaviour of lonely particles, charged mass-points.
We chose an element in the grey area, corresponding to a ( l = -1 ; m = 1 ) matrix. The ( l = - 1 ) value changes the signs of all the z i. They become negative. The new path is in the second sector, corresponding to anti-matter. As l m = - 1 the charges are reversed. But as time is not reversed, the energy and the mass of the particle remains positive.
*This is a geometric description of ( orthochron ) anti-matter after Dirac.
*
...Two more sectors has to be explored. On the third we examine the impact of ( l = - 1 ; m = - 1 ) element on the momentum and movement.
( l = - 1 ) reverses the {z i}. According to our geometric definition this new movement corresponds to anti-matter, for it takes place in the second sector of space { z 1,z 2, z 3, z 4, z 5, z 6, x, y , z , t }.
( m = - 1 ) gives a PT-symmetry, reverses the signs of ( x, y , z , t )
But ( l m = + 1 ) keeps the charges unchanged.
This is "PT-symmetric anti-matter", so that it is a geometric description of anti-matter after Feynmann.
The movement takes place in the second space sector, in the fold F*.
(406)
( l = -1 ; m = -1 ) **elements transform movement of normal matter into movement of anti-matter **(z-Symmetry) of PT-symmetrical object, runing bacward in time. Geometric description of Feynmann's vision of anti-matter. Does not identify vompletely with Dirac's one : negative mass and negative energy.
The last elements correspond to the sector ( l= 1 ; m = -1 )
( l = 1 ) --- > the movement is still in the matter's sector :
no z-Symmetry.
( m = -1 ) goes with a PT-symmetry. The particule runs backward in time.
( l = -1 ) : C-Symmetry. The charges are reversed.
...This is CPT-symmetrical matter, so that it corresponds to a geometrical interpretation of the so-called "CPT theorem", which asserts that the CPT-symmetric of a particle should be identical to that particle. That's not true. This movement corresponds to an antichron movement. The particle goes backward in time, si that (coadjoint action) its mass and energy become* negative* .
...The movement of a particle which is the CPT-symmetrical of a normal particle takes place in the fold F*.
(407)
( l = 1 ; m = - 1 ) case. Corresponds to CPT-symmetry. But the coadjoint action gives negative mass and energy. The CPT-symmetric of a particle of matter is a particule of matter, but with negative mass.