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3 - Tercer axioma de la teoría de grupos:
Cualquier elemento del grupo debe poseer su inverso, escrito g-1, definido por:
(15)
g
x g-1 = g-1
x g = 1
En nuestro ejemplo:
(16)
es decir: b
= - a o:
(17)
g-1
( a ) = g ( - a )
Aquí el cálculo
de la matriz inversa es trivial.
¿Cuál es la condición
para que una matriz cuadrada dada posea su inversa?
...A
cualquier matriz cuadrada podemos asociarle un escalar llamado determinante. Para
su definición véase cualquier libro dedicado al cálculo lineal. Este determinante
se codifica: det ( g )
Además tenemos un
teorema general:
det (g1
x g2)
= det (g1 )
x det (g1 )
El determinante de una
matriz diagonal es:
(18)
Como consecuencia:
det ( 1 ) = 1
pues 1 es una matriz diagonal.
De la definición del
inverso de una matriz:
g
x g-1 = g-1
x g = 1
Entonces:
(19)
det ( g
x g-1 ) = det (g)
x det (g-1 ) = 1
...Si
det (g) = 0 la condición (19) no puede satisfacerse. Los conjuntos de matrices
cuyos elementos peculiares poseen determinante nulo no satisfacen el tercer axioma,
y no pueden formar un grupo.
Por cierto:
(20)
4 - Cuarto axioma
de la teoría de grupos:
La multiplicación debe
ser asociativa, es decir: .
(21)
( g1
x g2
) x g3
=g1
x ( g2
x g3 )
La multiplicación de matrices
es básicamente asociativa.
Dimensión de un grupo
:
...Como
veremos, un grupo puede actuar sobre un espacio cuyos puntos se describen mediante vectores columna.
Por ejemplo, puntos del espacio-tiempo (llamados "eventos"):
(22)
...Este
es un espacio de cuatro dimensiones. Distintos grupos pueden actuar sobre él. Pero la dimensión
de un grupo no tiene nada que ver con la dimensión del espacio sobre el que actúa.
La dimensión de
un grupo (de matrices) es el número
de parámetros que
definen estas matrices cuadradas.
Hemos dado un ejemplo
de matrices, definidas por un único parámetro
a
De modo que la dimensión
de este grupo es uno.
Obsérvese que:
(22-bis)
Observación:
No todos los grupos de matrices
son conmutativos, aunque el grupo que estudiamos posee esta propiedad
:
(23)
Si tal grupo actúa sobre un
vector columna, correspondiente a un espacio 2d:
(23 bis)
corresponde a una rotación alrededor de un punto fijo, en un plano:
(23 ter)
Esta operación es obviamente
conmutativa.
Tenderás a decir:
"como todos los grupos de rotaciones".
...Te
equivocas. Considera las rotaciones alrededor de ejes que pasan por un punto dado O. Combina
dos rotaciones sucesivas, alrededor de ejes diferentes. Esto no es conmutativo.
Ejercicio: demuestra que, usando un sistema de ejes ortogonales (OX, OY, OZ), las rotaciones combinadas
alrededor de estos ejes no constituyen una operación conmutativa. Toma cualquier objeto.
- Haz una rotación de +90°
alrededor de OX, luego una rotación de +90° alrededor de OZ
Vuelve a las condiciones iniciales
y:
- Haz una rotación de +90°
alrededor de OZ, luego una rotación de +90° alrededor de OX
Compara los resultados.
Acción del grupo.
...Un
grupo G está compuesto por matrices cuadradas g. Pueden multiplicarse.
Diremos que un grupo puede actuar sobre sí mismo.
El grupo también puede actuar sobre un espacio, formado por puntos, descritos mediante vectores columna.
Ejemplo:
(24)
Si escribimos:
(25)
la acción del grupo
sobre este espacio se convierte en:
(26)
g
x r
...En
este caso peculiar la acción sobre el espacio se identifica con la simple multiplicación de matrices.
Pero el concepto de acción es mucho más general.
