El proyecto.
...Nuestro punto de partida será un grupo dinámico G, es decir, una familia de matrices cuadradas g.
...Dinámico: porque el tiempo está involucrado.
...Este grupo tiene una cierta dimensión n. Puede actuar sobre un espacio X, que tiene su propia dimensión (que no tiene nada que ver con la dimensión del grupo, siendo esta última el número de parámetros independientes que definen cada matriz g del conjunto que forma el grupo G).
...Ahora necesitamos una acción, para definir un espacio sobre el cual el grupo actúa, su espacio de momentos. Este espacio no es el espacio-tiempo en el que se supone que viajan las partículas. Construir tal espacio nos llevará a un país extraño, que parecerá una tierra esquizofrénica. Pero si sigues este camino estarás más cerca de la realidad física de lo que nunca has estado antes.
...Cuando tengamos un espacio con el que jugar, y una acción sobre la que actuar, clasificaremos los momentos-movimientos en especies e identificaremos tales especies con partículas elementales.
...Arriba dijimos que el producto de un grupo por un vector, correspondiente a SO(2) y O(2), así como a SO(3) y O(3), correspondía a una acción:
g x r
es decir:
(166b)
Nótese que podríamos escribirlo de la manera equivalente:
(167)
Para el grupo de Euclides orientado y el grupo de Euclides completo necesitamos escribir una acción:
(168)
Pero estas acciones, así como las acciones correspondientes de los grupos dinámicos sobre el espacio, como:
(169)
no dan... nada. Simplemente transportan objetos en el espacio, o en el espacio-tiempo, o en espacios más refinados (espacio de 5 dimensiones, espacio de diez dimensiones).
Tenemos que buscar algo "oculto bajo el grupo": su espacio de momentos (todos los grupos de matrices poseen uno) y su
acción coadjunta sobre su espacio de momentos.
que corresponde a la física real.
¿Qué es la física?
...Buena pregunta. El matemático francés Jean-Marie Souriau inventó el concepto de acción coadjunta de un grupo sobre su espacio de momentos y lo mostró a principios de los años setenta. En lo que sigue esto será desarrollado.
...Por supuesto, el físico, al final del cálculo, preguntará
¿Por qué?
...En otros términos, funciona, pero ¿podemos dar un significado físico a este concepto de acción coadjunta de un grupo dinámico sobre su espacio de momentos? La respuesta parece ser no.
...Imagina que eres un estudiante de Aristóteles. De repente tienes una intuición e inventas una nueva palabra para nombrarla:
inercia.
...Aristóteles llega. Ha sido advertido por otros estudiantes de que has inventado algo nuevo, y pregunta:
- ¿Podrías explicarnos qué significa inercia?
Serás incapaz de hacerlo usando las palabras de Aristóteles. Habrás encontrado un cambio paradigmático.
Salta a la Edad Media. Intenta explicar una reacción química con el vocabulario de los cuatro elementos. Imposible también...
La acción coadjunta de un grupo sobre su espacio de momentos es un cambio paradigmático. Es una nueva visión de la física.
De hecho, los físicos manejan acciones de grupos todo el tiempo cuando hablan de "invariancia", "leyes de conservación".
Tal físico convencional preguntará:
- ¿Puedes explicarme cuál es el significado de la acción coadjunta de un grupo sobre su espacio de momentos, en palabras simples, si es posible?
Respondemos:
-
¿Por qué usas leyes de conservación en física?
-
Aoh... porque hay cantidades conservativas: energía, masa, carga eléctrica...
-
¿Por qué se conservan?
-
¡Pero si es un principio básico!...
-
Mi querido amigo, considera la acción coadjunta de un grupo sobre su espacio de momentos como un principio básico.
-
¿Qué quieres decir?
-
Toda física se basa en una estructura de grupo. Si identificas el grupo, puedes construir su acción coadjunta y el espacio de momentos correspondiente. Entonces las componentes del momento son las cantidades físicas correspondientes.
-
........
Advertencia. Si eres físico (incluso físico teórico...) y lees lo que sigue, sufrirás una mutación paradigmática. Después, la física será simplemente... diferente.
Acciones.
¿Qué es una acción?
Algo ligado a un grupo, que obedece los siguientes axiomas:
(170)
Por supuesto, para grupos de matrices, la operación de composición es:
x
(multiplicación matricial fila-columna)
Para grupos de matrices podemos escribir:
(171)
Considérese el vector columna:
(172)
donde x, por ejemplo, representa vectores
(173)
¿Acaso
(174)
satisface los axiomas de la acción? Sean g y g' dos elementos del grupo G.
(175)
(175b)
Debemos tener:
(176)
Ag ( Ag'(x)) = Ag"(x)
es decir:
(177)
bajo la propiedad de asociatividad:
(178)
g" = g x g'
es una acción del grupo.
...Nótese que pusimos el elemento g del grupo G a la izquierda. ¿Qué ocurre si lo ponemos a la derecha? Entonces debe combinarse con una matriz fila y.
(179)
Ag(y) = y x g
¿Es una acción?
