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Necesitamos:
(180)
Ag
( Ag'(y)) = Ag"(y)
Ag(y)
= y x
g
Ag'(y)
= y x
g'
Ag
( Ag'(y)) = y x
g' x g
Pero:
El producto de dos matrices
no es conmutativo, en general. Como conclusión:
(181)
Ag(y)
= y x g
no es una acción de grupo
: No cumple los axiomas anteriores. Pero cumple otro, correspondiente a
una "anti-acción".
(182)
Para matrices:
(183
Seguimos buscando
acciones y anti-acciones. A partir del vector x podemos construir el traspuesto
e intentar:
(184)
¿es una acción?
Avancemos.
g" = g
x g'
(185)
(186)
Aquí usamos un teorema de cálculo lineal:
(187)
M -1
x N
= ( N x
M ) -1
donde M y N
son matrices (n,n) arbitrarias. De donde:
(188)
g' -1
x g-1 = ( g x
g' ) -1
= g" -1
y:
(189)
que es una acción de
grupo. Consideremos
ahora:
(190)
Ag(m)
= g x mx g-1
Mostremos que es una acción.
Consideraremos las tres matrices siguientes.
(191)
g
g'
g" = g
x g'
Ag(m)
= g x
m x g-1
Ag'(m)
= **g'**x
m x
g' -1
Ag"(m)
= g" x
m x
g" -1
Necesitamos:
(192)
Ag(Ag'(m))
= Ag"(m)
Formemos el primer miembro:
(193)
g x (g'
x m
x g'
-1) x g-1
o:
(194)
g x
g'x
m x
g' -1
x
g -1
es decir:
(195)
(g x
g') x
m x ( g
x g')-1 = g" x
m x
g" -1
Es una acción de grupo.
La llamaremos, siguiendo a Souriau:
Acción
adjunta:
(193)
Ahora vamos a considerar una anti-acción del grupo sobre una matriz m.
(194)
AAg(m)
= g -1 x
m x
g
Mostremos que satisface:
(195)
AAg'(Ag(m))
= Ag"(m)
Formemos el primer miembro:
(196)
g'-1 x
(g -1 x
m x
g) x
g'
o:
(197)
g' -1
x
g -1
x
m x
g x
g'
es decir:
(198)
(g x
g') -1
x
m x
( g x
g')
o:
(199)
g" -1
x
m x
g"
