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Necesitamos:
Acciones duales.
Hemos construido, arriba,
una acción:
(200)
una anti-acción:
(201)
La primera puede referirse a
cualquier vector columna m:
(202)
m' = g xm
y la segunda a cualquier
vector fila n:
(203)
n' = n
x g-1
m pertenece a un
cierto espacio M
n pertenece a otro
espacio N.
Formar el escalar:
(204)
S = n m
Obsérvese que:
(205)
n' m' =
n x g-1
x g xm
...Diremos que las dos acciones consideradas son duales. Igualmente los dos espacios
M y N, a los que pertenecen m y n son espacios duales:
N = M* o M = N*
Normalmente, decimos que
si m es un vector, n es su covector.
El prefijo co es típico
de la dualidad. Como señaló Souriau, la dualidad existe en política y
añade:
- La dualidad estuvo presente
en el marxismo-leninismo, desde el principio. Piénsese en el munista y el
comunista.
Tomemos otro punto de vista. Supongamos que tenemos una acción, y queremos construir
su dual.
Esquemáticamente:
(206)
...Para
formar un producto escalar con el vector columna m, n
debe ser un vector fila. Entonces estos dos vectores deben definirse por el mismo
número de escalares:
(207)
entonces buscamos la acción
dual:
(208)
n' = Ag(n)
de modo que el producto escalar:
(209)
sea invariante. Debemos
tener:
(210)
n' m'
= n m
Tenemos:
(211)
m' = g
x m
(212)
Ag(n)
x g
x m
= n m
cuya solución
es:
(213)
Ag(n)
= n x g-1
Hacia la construcción de la
acción esencial, o acción coadjunta de un grupo sobre su momento ( según
Souriau ).
Buscamos una acción del
grupo sobre su "espacio de momento". La vamos a construir como la dual de
una anti-acción:
(214)
AAg(m)
= g-1 x
m x g
...En
la sección precedente m era un vector. Pero en (214) es una matriz.
Tomaremos una matriz, que depende de un cierto número de parámetros:
{ m1 , m2 , . . . .
, mn }
Debemos imaginar un conjunto dual
de escalares:
{ n1 , n2 , . . . .
, nn }
de modo que:
(215)
Esquemáticamente:
(216)
