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Elección de la matriz m.
...Un grupo G puede compararse con cierta superficie. Depende de cierto número de parámetros. Sea P este espacio de los parámetros del grupo y p un punto de este espacio. El número de estos parámetros pi es la dimensión del grupo.
(217)
Mostrado: el elemento neutro e (la matriz unidad 1).
Podemos dar un incremento d p:
(218)
...Entonces diferenciamos la matriz g, que es el elemento del grupo. Obtenemos una matriz cuadrada dg que no pertenece al grupo. Se la llama el "vector tangente al grupo". Estos vectores tangentes forman lo que se llama el "álgebra de Lie" del grupo (que, por cierto, no es un álgebra).
Hemos elegido diferenciar en la vecindad del elemento neutro:
(219)
y elegimos la siguiente coacción:
(220)
AAg(m) = g-1 x dg(g=e) x g
Observación:
¿Por qué elegimos el vector tangente al grupo en g = 1?
...Podríamos usar un vector tangente dg más general, en cualquier punto del grupo. Obtendríamos el mismo resultado, pero el cálculo sería mucho más tedioso.
La dimensión del grupo es n. La matriz g depende de n parámetros { pi }.
El elemento del álgebra de Lie dg(g=e) depende del mismo número de parámetros {d pi }.
El cálculo de la coacción anterior proporcionará la aplicación:
(221)
{ d pi } -----> { d pp'i }
Introducimos el mismo número de escalares:
{ J i }
Llamamos a este conjunto el momento J del grupo.
J = { J i }
Es un conjunto de n cantidades, n escalares. A veces podemos ponerlo en una matriz (la acción de Poincaré sobre su momento).
{ J i } es el vector cotangente { d p i } al vector tangente del grupo. La dualidad da:
(222)
De esta conservación del producto escalar, si conocemos la aplicación:
(223)
{ d p i } -----> { d p' i }
podemos construir la aplicación dual:
(224)
{ J i } -----> { J 'i }
Esta es la acción esencial que buscamos, y Souriau la llama coacción coadyugante del grupo sobre su espacio de momentos.
La mejor manera de ilustrar este concepto es dar un ejemplo:
Coacción coadyugante del grupo de Poincaré sobre su espacio de momentos Jp.
Arriba presentamos el grupo de Lorentz generalizado. Eligiendo:
(225)
obtenemos el grupo de Lorentz L, cuyo elemento L obedece a la definición axiomática:
(226)
El vector espacio-tiempo es
(227)
Con c = 1 obtenemos la forma cuadrática elemental, la métrica de Minkowski:
(228)
La matriz inversa es
(229)
Introduzcamos ahora una traslación espacio-temporal:
(230)
construimos el elemento gp del grupo de Poincaré Gp de la siguiente manera:
(231)
Ejercicio: muestre que forma un grupo y calcule la matriz inversa:
(232)
El elemento del álgebra de Lie es
(233)
y la coacción:
(234)
dgp' = gp-1 x dgp x gp
Notamos que
(235)
G d L
es una matriz antisimétrica. Llamémosla:
(236)
de donde:
(237)
Sea:
(238)
a partir de esto, podemos construir la coacción:
(239)
dgp' = gp-1 x dgp x gp
que nos dará la aplicación:
(240)
(240b)
(240c)
es la aplicación requerida:
(241)
