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...Un elemento gp del grupo de Poincaré Gp se define mediante un conjunto de parámetros {pi}, cuyo número es, por definición, la dimensión del grupo. La matriz dg (g=e) se construye a partir del conjunto {dpi}. De modo que la aplicación precedente corresponde a la antiacción:
(242)
AA : {dpi}
--> {dpi'}
Para introducir la dualidad y construir la aplicación dual, asumimos la constancia del escalar:
(243)
La dimensión del grupo de Poincaré es 10, de donde tenemos diez escalares { Ji }, componentes del momento Jp.
Jp
= { J1 , J2 , J3 , J4 , J5 , J6 , J7 , J8 , J9 , J10 }
Decidimos dividir esto en dos objetos:
(244)
Jp= { M , P }
El primero, M, es una matriz antisimétrica (4,4).
P es el cuadrivector (4,1)
(245)
Entonces:
(246)
Jp=
{ M , P } = { M , p , E}
Escribir el producto escalar como:
(247)
Tr significa traza. La constancia del producto escalar da
(248)
con:
(249)
(249b)
(249c)
pero GG = 1. Entonces:
(250)
(250b)
(251)
es decir:
(252)
(252b)
(252c)
(253)
Esta acción coadjunta puede ponerse en forma matricial:
El elemento del grupo de Poincaré es:
(254)
Su traspuesta es:
(255)
Considerar la matriz:
(256)
escribir:
(257)
(258)
(259)
que se identificará con la matriz:
(260)
Entonces Jp es el momento del grupo de Poincaré, puesto en forma matricial, y la acción coadjunta es:
(261)
Ejercicio: comprobar que esto es una acción.
La matriz-momento corresponde a:
(262)
La diagonal de una matriz antisimétrica M está formada por ceros.
(263)
Depende de seis parámetros.
(264)
( lx , ly , lz , fx , fy , fz )
Escribamos la matriz:
(265)
Las tres últimas componentes ( fx , fy , fz) forman lo que Souriau llama el vector de paso f:
(266)
Las primeras ( lx , ly , lz) son las componentes independientes de una matriz antisimétrica (3,3), que Souriau llama la matriz de espín.
(267)
de donde:
(268)
El vector P es el cuadrivector impulsión-energía:
(269)
Entonces el momento del grupo de Poincaré puede explicitarse en su forma más general:
(270)
Posee diez componentes:
(271)
Jp
= { E , px ,py , pz , fx ,fy , fz , fx ,fy , fz } = { E**, p , f , l** }
