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Partículas con espín.
...El grupo de Poincaré describe el movimiento relativista de un objeto puntual. De manera similar, el grupo de Bargmann describe el movimiento no relativista. Las componentes del momento surgen como cantidades puramente geométricas. Es una geometrización de la física.
Los físicos están familiarizados con la energía E y el vector de impulso p. Pero pueden quedar algo desconcertados por los otros dos objetos: el pasaje f y el vector de espín l. La forma de las componentes del momento depende de la elección de coordenadas.
...Cada grupo dinámico posee su propio espacio de momentos y su acción coadjunta sobre este espacio de momentos. Si, en lugar de elegir primero el mundo relativista (grupo de Poincaré), hubiéramos elegido el mundo no relativista, tendríamos que remitirnos al grupo de Bargmann. Para el detalle computacional véanse mis lecciones sobre grupos.
El grupo de Bargmann es una extensión no trivial del grupo de Galileo:
(272)
Como el lector puede ver, este grupo actúa sobre un espacio pentadimensional:
r : espacio
t : tiempo
z : una variable adicional.
...Estas cuestiones de variable adicional o variables adicionales serán tratadas más adelante. En este sitio se ha dado arriba el cálculo completo de la acción coadjunta del grupo de Poincaré. También se podría derivar el cálculo de la acción coadjunta del grupo de Bargmann sobre su momento. Paradójicamente, el cálculo en el mundo no relativista es algo más complicado que el del mundo relativista.
El resultado es el siguiente:
(273)
El físico identifica algunos objetos familiares, como la velocidad:
(274)
y la energía cinética:
(275)
m v es el impulso.
¿Velocidad con respecto a qué?
Un grupo cambia los parámetros del movimiento, da a una partícula una velocidad v y una energía cinética E.
Podemos elegir la interpretación opuesta, y considerar que un grupo es un punto de vista peculiar sobre algo, sobre una partícula.
Si consideramos el grupo SO(3), las matrices a, significa "visto desde otro ángulo de vista".
Si consideramos el grupo O(3), matrices a, añade la posibilidad de observar la "cosa" a través de un espejo.
El vector de traslación
(276)
del grupo de Euclides añade "visto desde otro lugar".
En los grupos dinámicos, la presencia de una velocidad v en el grupo significa que el observador se mueve.
La traslación temporal e = Dt significa que el observador ve la cosa tras cierto retardo.
El vector de traslación Dr y el retardo temporal Dt pueden juntarse en un vector de traslación espacio-temporal:
(277)
Mire las fórmulas, del grupo de Bargmann, vemos que:
m' = m
Sea cual sea el punto de vista, la masa no cambia.
Simplifiquemos un poco este "punto de vista", eligiendo a = 1.
La acción coadjunta se convierte en:
(278)
...La acción coadjunta indica el cambio en los parámetros del movimiento. Si consideramos que pasamos de una situación estacionaria a una no estacionaria, las condiciones iniciales corresponden a:
E = 0 ( energía cero )
p = 0 ( impulso cero, velocidad cero )
"pasaje" f = 0
Entonces la acción coadjunta da:
(279)
"Considerar" debe leerse en su sentido etimológico.
Un agente judicial dice:
- Levantando un informe cum inventario.
...Una visión estática (v = 0) de las cosas corresponde al grupo de Euclides. El agente judicial observa las cosas a distancia c. Observa los hechos en el momento en que ocurren (Dt = 0). Eventualmente mira desde cierto ángulo (a distinto de 1).
...Un general, sobrevolando un campo de batalla, en un avión, es una especie de agente judicial, que observa las cosas desde un punto de vista en movimiento (desde un avión que navega a velocidad v).
...Pero un general, en su cuartel general, mirando una película tomada por un avión no tripulado, un dron, algunas horas antes, dice:
- Considerando el objetivo, tal como estaba una hora antes (Dt no nulo), visto desde un punto de observación en movimiento (v no nula), desde una altitud de cinco mil pies (c no nula), navegando a velocidad v y tomando imágenes a través de cierto ángulo (a distinto de 1).
...Un objetivo no tiene velocidad, ni posición, ni orientación definidas, incluso si se supone que es un edificio "fijo". Todo es relativo. Incluso la Tierra, el Sol, nuestra galaxia se mueven por el espacio.
...El "polo norte" de la Tierra es distinto del "polo norte del Sol", en 23°, y cambia en el tiempo (26.000 años), debido a la precesión de los equinoccios. El norte indicado por el sol (su propio eje de rotación) no es el norte indicado por nuestra galaxia, la vía láctea, que tiene su propio movimiento de giro (separación de 90°). Incluso una galaxia se mueve, a trescientas millas por hora. ¿Con respecto a qué? A las otras. Es todo lo que podemos decir.
El grupo corresponde a dos puntos de vista diferentes.
...Si considero que el objeto es estacionario, fijo en el espacio y el tiempo, y no posee movimiento de giro, todo lo que puedo decir es:
- Si me alejo a distancia c.
- Si observo la cosa, cuando navego a velocidad v.
- Si la información, proveniente de esta cosa, me llega con un retardo temporal Dt.
Con respecto a mí:
---> La masa del objeto no se modifica.
----> Doy al objeto un impulso mv, considerado como aparente.
-----> El objeto adquiere un "pasaje" f = m [ c - v Dt ]
----> Adquiere un espín
(279b)
Escríbalo de manera más explícita:
(280)
(281)
(282)
o:
(283)
Se pueden considerar las tres componentes independientes de la matriz de espín l como las componentes de un vector:
(283b)
...Aunque el producto vectorial no ha sido definido en nuestro espacio, es decir: no dimos al espacio una orientación derecha-izquierda, podemos considerar la última expresión como un producto vectorial.
(284)
...La v invertida indica el producto vectorial. Vemos que la última línea de las fórmulas que dan la acción coadjunta corresponde a:
(285)
l es una matriz, no un vector. Pero, según la notación elegida, las letras en negrita indican indiferentemente una matriz o un vector.
Este vector empieza a parecerse a algo familiar para el físico: el momento cinético.
