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El grupo especial de Galileo.
...El lector encontrará esta extensión en el libro de Souriau: Structure of Dynamical Systems, Birkhasuer Ed. 1997 y, en francés, Structure des Systèmes Dynamiques, Ed. Dunod 1973.
...Un grupo puede extenderse. Esto significa que se incrementará el número de parámetros de los que depende. Calcule el número de parámetros de los que depende el grupo de Galileo. Partimos de la matriz de rotación 3D:
(322)
Es una matriz ortogonal:
(323)
estas matrices forman los grupos SO(3), que es un subgrupo del grupo O(3) compuesto por todas las matrices ortogonales. Tenemos:
(324)
Recuérdese la diferencia con:
(325)
(325b)
son las matrices ortogonales más generales, cuyos determinantes obedecen:
(326)
Fin de este paréntesis.
El siguiente grupo de matrices cuadradas (5,5) se denominará el grupo especial de Galileo:
(327)
La matriz de rotación depende de tres parámetros libres, los ángulos de Euler. Por lo que la dimensión del grupo es diez.
Usando las notaciones:
(328)
obtenemos:
(329)
Asociado al vector espacio-tiempo:
(330)
de modo que la acción correspondiente del grupo especial de Galileo es:
(331)
...Dado el grupo especial de Galileo, es posible calcular la acción del grupo sobre su espacio de momentos. El cálculo no se dará aquí. El lector puede encontrarlo en mis lecciones sobre grupos, disponibles.
Demos el resultado:
(332)
Reconocemos el momento p y la energía E. El momento está compuesto por:
(333)
JSG
= { E , p , f , l }
...Diez cantidades escalares. Diez dimensiones para el grupo. Todavía tenemos el vector de paso f y la matriz de espín antisimétrica l (compuesta por tres componentes independientes lx , ly , lz , que forman el "vector de espín").
La extensión trivial del grupo especial de Galileo.
Las siguientes matrices forman un nuevo grupo.
(334)
Introduce una nueva componente f, un escalar, la "fase" (conectada al mundo cuántico). La dimensión del grupo se convierte en
10 + 1 = 11
Este nuevo grupo actúa sobre un espacio pentadimensional:
(335)
z es una "dimensión adicional". Fue introducida por primera vez por el polaco Kaluza, en 1921, y luego por J.M.Souriau, en 1964 (Géométrie et relativité Hermann Editeur, no traducido al inglés).
Aquí también se puede calcular la acción coadjunta correspondiente del grupo sobre su espacio de momentos. Encontramos esto:
(336)
El momento se convierte en:
(337)
JTESG
= { m , E , p , f , l }
...Tenemos un escalar más m y lo identificamos con la masa. Vemos que el grupo especial de Galileo, al actuar sobre el espacio-tiempo, aporta la energía, pero no la masa, como componente del momento. En la actualidad (mediante una extensión trivial) nuestra partícula obtiene un atributo adicional, que se identifica con la masa, de forma muy arbitraria, y que no interactúa con las demás componentes del momento.
