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Extensión no trivial del grupo de Galileo Especial.
El grupo de Bargmann (1960)
Las siguientes matrices
( ver mis conferencias sobre grupos )
(338)
forman un grupo, descubierto por Bargmann en 1960. De nuevo, actúa sobre un espacio de cinco dimensiones. Su dimensión es 11, debido a la presencia del escalar f. Es una extensión no trivial del grupo de Galileo Especial.
(339)
Si se calcula la acción coadyugante del grupo sobre su momento, se obtiene:
(340)
...Vemos que esta acción coadyugante es más refinada y que la masa interactúa con las otras componentes del momento. Hemos analizado esto anteriormente y mostrado cómo aporta el significado físico de las componentes del momento.
...Un momento es un movimiento de una partícula dada. El grupo de Bargmann describe movimientos no relativistas. Podemos considerar una partícula en reposo, sin energía, sin impulso, sin espín. Solo una masa no nula:
m
p = 0
E = 0
f = 0
l = 0
Usamos el siguiente elemento del grupo de Bargmann:
(341)
Las componentes del momento se convierten en:
(342)
...En un sistema de coordenadas ligado a la partícula, el paso f sigue siendo cero. Hemos mostrado que la matriz de espín se identifica con el momento cinético.
...Aquí, lo importante es observar la extensión trivial del grupo de Galileo Especial (¿por qué "especial"? Esto se explicará más adelante). Cuando se realiza esta extensión trivial, solo añade un escalar adicional al momento.
Extendamos el grupo de Poincaré:
Extensión central del grupo de Poincaré.
(343)
"ep" significa "grupo de Poincaré extendido". Lo es el elemento de la subgrupo ortócrono Lo del grupo de Lorentz completo L. De modo que podemos considerar el elemento anterior como la subgrupo ortócrono Gepo de un grupo de Poincaré extendido completo, cuyo elemento es:
(344)
Ambos actúan sobre un espacio de cinco dimensiones:
(345)
( t , x , y , z , z
).
Se puede demostrar que esta extensión no puede admitir términos no nulos en la primera línea, en lugar de 0
= ( 0 0 0) , entre 1 y f.
...Como mostró J.M. Souriau, el método de cuantificación geométrica (método de Kostant-Kirilov-Souriau) obtiene la ecuación de Schrödinger a partir del grupo de Bargmann y la ecuación de Klein-Gordon a partir del grupo de Poincaré extendido (Structure des Systèmes Dynamiques, Dunod Ed. 1972). Además, esta extensión central del grupo añade un escalar extra al momento (como en la extensión trivial del grupo de Bargmann):
(346)
Jep=
{ c , M , P } = { c , Jp }
Jp representa
el momento clásico de Poincaré. Entonces, la acción coadyugante del momento simplemente se convierte en:
(347)
El cálculo no es complicado y es similar al presentado anteriormente. Se calcula la anti-acción:
(348)
Luego, la dualidad se expresa mediante la constancia del siguiente escalar:
(349)
...De modo que obtenemos un escalar adicional c, que simplemente se conserva a través de la acción coadyugante. Hasta ahora, este escalar no había recibido ninguna interpretación física. Vamos a aclarar todo esto a continuación. Obviamente, podemos extender el grupo tantas veces como queramos:
(350)
Cada vez, añade un escalar adicional
(351)
Jpe
= { c 1 , c 2 , c 3 ....., M , P }
Jpe
= { c 1 , c 2 , c 3 ....., Jp }
y la acción coadyugante se convierte en:
(352)
El lector dirá: "Bueno, ¿por qué no añadimos 57 nuevos escalares?"
Simplemente añada seis e identifique estos nuevos escalares con
(353)
c 1 = q (carga
eléctrica)
c 2 = cB (carga
bariónica)
c 3 = cL (carga
leptónica)
c 4 = cm (carga
muónica)
c 5 = ct (carga
tauónica)
c 6 = v (coeficiente
giromagnético)
El grupo actúa sobre el siguiente espacio de diez dimensiones:
(354)
( x , y , z , t , z
1 , z 2 , z3 , z 4
, z 5 , z6 )
es decir: espacio-tiempo más seis dimensiones adicionales.
(355)
Recuerde que este grupo
está construido con la subgrupo ortócrono
Lo = Ln(componente neutra) U Ls (que realiza la inversión espacial)
del grupo de Lorentz completo L.
El momento se convierte
en:
(356)
Jpe
= { q , cB , cL , cm , ct ,
v , Jp }
Siendo Jp
la parte del momento correspondiente al grupo de Poincaré Gop (subgrupo ortócrono).
¿Cuál es el significado
físico?
...Un
momento pertenece a un espacio, que es una variedad n-dimensional. El grupo de Poincaré posee diez dimensiones, de modo que el momento del grupo de Poincaré está compuesto por diez cantidades.
Luego
añadimos seis dimensiones más al grupo, correspondientes a las fases adicionales:
(357)
f1 ,f2
,f3 ,f3 ,f5 ,f5
El momento se convierte
en:
(358)
Jpe
= { J1, J2 J3, J4, J5,
J6, J7, J8, J9, J10,
J11, J12, J13, J14, J15,
J16 }
Decidimos que entre el
conjunto de escalares
(359)
Jp
= { J7, J8, J9, J10, J11,
J12, J13, J14, J15, J16
}
identificamos la energía
E, el momento p, el paso f, la matriz antisimétrica de espín l.
...E
y p pueden tomar todos los valores posibles, pero los argumentos cuánticos imponen la constancia del módulo s del vector de espín (en un sistema de coordenadas ligado a la partícula), lo cual no está justificado aquí y corresponde al trabajo de Souriau.
Tenemos seis escalares más:
(360)
J1, J2
J3, J4, J5, J6
...Decidimos
que, entre una infinidad de opciones posibles, algunas opciones discretas corresponden a partículas reales (y antipartículas). Entonces, en la variedad de 16 dimensiones correspondiente al espacio de momentos, seleccionamos movimientos discretos correspondientes a partículas, con números cuánticos definidos
(361)
{ q , cB ,
cL , cm , ct , v }
...Por el momento, la acción coadyugante del grupo solo garantiza la conservación de estas cantidades, a lo largo de movimientos dados. Hay "números cuánticos pasivos", así como la masa apareció como una cantidad pasiva, al surgir de la extensión trivial del grupo de Galileo Especial.
