grupos y acción coadjunta de la física momento
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...Todo lo que sigue en este campo girará en torno a los grupos. ¿Se puede dar una visión simplificada de esta parte, sin producir un curso completo sobre grupos? Además, ¿cuál es la relación entre grupo y partículas? Todo esto parece muy misterioso para un principiante.
...Primero, ¿qué es un grupo? En lo que sigue, una simple familia de matrices cuadradas de tamaño (n,n). La operación que permite que actúen unas sobre otras es la multiplicación matricial (fila-columna).
Todas estas familias de matrices tendrán siempre un elemento neutro, del tipo:
...
Un grupo obedece obviamente a unos axiomas, los de Sophus Lie. Los axiomas de los grupos son más generales que los de los axiomas matriciales, pero, para nosotros, solo existirán los grupos de matrices cuadradas, asociados a una operación de composición que sea la multiplicación clásica fila-columna, denotada por x.
1 - Primer axioma de los grupos. Existe una operación de composición, que permite componer dos elementos de un conjunto, y esta ley de composición, respecto a ese conjunto, es interna, es decir, en el caso de la multiplicación matricial:
Sean g1 y g2 elementos de un conjunto de matrices cuadradas G. Al componerlos obtenemos una matriz cuadrada:
g3 = g1 x g2
Es entonces indispensable que la matriz pertenezca al conjunto G, que sea del mismo tipo, es decir:
...Me dirás: "las matrices cuadradas de tamaño (2,2): dos filas, dos columnas, o (5,5): cinco filas, cinco columnas, satisfacen este criterio, ya que g3 = g1 x g2 es una matriz del mismo tamaño."
Pero este conjunto es... demasiado amplio, demasiado vago. No podrás hacer nada con él, y ciertamente no de física. Además, no satisface a priori los axiomas siguientes. Véase más adelante.
Demos un ejemplo sencillo de un conjunto de matrices, con un parámetro a, que forma un grupo:
Compongamos dos matrices de este tipo:
o bien:
g(a) x g(b) = g(g) = g(a + b)
La matriz producto se puede escribir como:
Es claramente del mismo tipo que g1 y g2. Es decir, que:
Contraejemplo. Consideremos otra familia de matrices con un parámetro a:
Compongamos dos matrices de este tipo:
La matriz obtenida no es del tipo (5). Como diría Magritte: "esto no es un grupo". Bastó con cambiar un signo.
2 - Segundo axioma de los grupos:
Debe existir un elemento neutro, denotado e, tal que:
g "compuesto" e = e "compuesto" g = g
...En las matrices cuadradas, este elemento neutro siempre es la matriz unidad, denotada 1, con letra en negrita: a partir de ahora, denotaremos todas nuestras matrices, y en general todo lo que no sea un escalar, con letra en negrita, reservando las letras delgadas para los escalares. Esto se escribiría, bajo estas condiciones:
g x 1 = 1 x g = g
En nuestro ejemplo:
Se observará de paso que: