grupos y acción coadjunta de momento en física
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3 - Tercer axioma de grupos: Todo elemento debe poseer un inverso, denotado g⁻¹, definido por:
g × g⁻¹ = g⁻¹ × g = 1
En nuestro ejemplo, esto se escribe como:
es decir, b = -a o bien:
g⁻¹(a) = g(-a)
...Aquí, el cálculo de la matriz inversa era evidente. Pero no siempre es así, lejos de ello. ¿Qué se requiere para que toda matriz del conjunto considerado posea un inverso, es decir, sea invertible? Es necesario y suficiente que su determinante sea distinto de cero (y remitimos al lector a su curso de álgebra lineal). Un teorema establece que el determinante de un producto de matrices es igual al producto de los determinantes de dichas matrices. La definición misma del determinante hace que el determinante de una matriz diagonal sea igual al producto de los elementos que la componen. Por ejemplo:
Consecuencias: el determinante de todas las matrices unidad 1 vale 1. Por tanto:
det(g) multiplicado por det(g⁻¹) es igual a la unidad ¹ 0
consecuencia: una matriz con determinante nulo no puede poseer inversa, lo cual contradiría su definición. Además:
4 - Cuarto axioma de grupos: la operación de composición debe ser asociativa:
(g₁ × g₂) × g₃ = g₁ × (g₂ × g₃)
Esto siempre se cumple...
Dimensión de un grupo:
...Una pequeña digresión sobre la dimensión de un grupo (de matrices), que no tiene nada que ver con el rango de las matrices que lo componen ni con el número de cantidades que constituyen "el espacio sobre el cual actúa este grupo" (por ejemplo, el espacio (x,y) de dos dimensiones o el espacio-tiempo (x,y) de cuatro dimensiones).
...Aquí tenemos un ejemplo de una familia de matrices cuadradas con un solo parámetro a, cuyo conjunto resulta ser un grupo. Más adelante encontraremos grupos formados por matrices cuadradas definidas por n parámetros: seis, diez, dieciséis, cualquier número.
El número de parámetros utilizados para definir las matrices cuadradas del grupo se llamará dimensión del grupo.
Tenemos aquí un grupo formado por una familia de matrices con un parámetro a. La dimensión de este grupo es 1.
Observemos de paso que:
Observación:
...Los grupos, y especialmente los grupos que nos interesan aquí, no son necesariamente conmutativos. De hecho, la conmutatividad es la excepción. Resulta que nuestro grupo-ejemplo es conmutativo:
...Se habrá reconocido en este grupo las matrices de rotación en 2D, alrededor de un eje fijo. En la práctica, esta operación es "obviamente conmutativa". Girar primero un ángulo a y luego un ángulo b alrededor de un eje, o bien primero un ángulo b y luego un ángulo a, conduce al mismo resultado.
Usted dirá: "lógico. Los grupos de rotación son esencialmente conmutativos".
...Falso. Esta es una propiedad del caso 2D. En 3D ya no se cumple. Considere un grupo particular, formado por el conjunto de rotaciones alrededor de tres ejes ortogonales (OX, OY, OZ).
Ejercicio: demostrará, tomando un objeto y sometiéndolo a:
-
Primero una rotación de +90° alrededor de OX
-
Luego una rotación de +90° alrededor de OZ
y luego las mismas rotaciones, pero en orden inverso, que no se obtiene el mismo resultado. Esta operación no es conmutativa.
Acción de un grupo.
...Un grupo G está formado por un conjunto de matrices cuadradas. Ya podemos considerar que actúa sobre sí mismo (ver más adelante los axiomas que definen una acción de grupo, un concepto fundamental).
...Nuestro grupo-ejemplo también puede actuar sobre los puntos de un "espacio 2D". Decimos que los hace rotar. Un grupo está hecho para transportar, pero ¿qué se transporta exactamente?
...Pues bien, justamente, eso no es lo más importante. Citando su obra "Gramática de la Naturaleza", diremos con J.M. Souriau que:
La forma de transportar vale más que lo que se transporta.
En el caso de nuestro grupo-ejemplo, las matrices actúan sobre un espacio 2D (x,y), y podremos escribir la acción correspondiente
Si se define (matriz-columna):
entonces la acción se escribe simplemente:
g × r
...En este caso particular, la acción de nuestro grupo sobre el espacio (x,y) se identifica con la multiplicación matricial. Pero queremos mostrar que se trata solo de una acción particular, y que el concepto de acción, fundamental en física, es mucho más general.