grupos y acción coadjunta de momento en física
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Grupo de traslaciones:
...Consideremos el espacio 2D (x,y). En este espacio, una traslación corresponde al par de escalares (Dx, Dy) y es costumbre escribir
x' = x + Dx
y' = y + Dy
Entonces se utiliza la suma. ¿Sería posible encontrar una forma de codificar la traslación mediante una... multiplicación?
Consideremos las matrices:
y la acción del grupo:
Observamos que ya no se trata de la simple multiplicación matricial
g x r
sino de la acción del grupo:
A modo de paso, podemos considerar traslaciones en tres, cuatro dimensiones y más:
La acción del grupo correspondiente es entonces:
...Adicionalmente, el grupo de traslaciones es conmutativo y el elemento neutro es "la traslación nula". En 3D la dimensión del grupo es tres, en 4D es cuatro.
Interés de los grupos matriciales. Ejemplo: el grupo euclidiano.
...El interés de un grupo matricial es que permite tratar simultáneamente varias cosas que hasta ahora parecían de naturalezas diferentes, por ejemplo rotación y traslación. Basta entonces considerar las matrices:
y hacer actuar la matriz elemental del grupo sobre el vector columna para observar que esto equivale a la combinación de una rotación de ángulo a y una traslación según el vector (Dx, Dy).
...Como se ve, la matriz g no actúa "directamente" sobre los puntos (x,y) de este espacio 2D, sino a través de lo que se llama una "acción del grupo", que obedece ciertos axiomas.
...Así, un grupo "actúa" y "transporta", en este caso puntos. Se trata del grupo euclidiano. Ligado a un espacio 2D (x,y), este grupo está definido por tres parámetros. Es g (a, Dx, Dy): la dimensión de este grupo es 3. En particular:
g (0, Dx, Dy) representa el subgrupo de las traslaciones.
g (a, 0, 0) representa el subgrupo de las rotaciones alrededor del origen.
g (0, Dx, 0) representa el subgrupo de las traslaciones paralelas a una recta (el eje OX).
...El grupo euclidiano transporta puntos que, por sí mismos, no poseen atributos (mientras que los grupos de la dinámica otorgan a un simple "punto material" atributos denominados masa, energía, momento, espín).
...Con el grupo euclidiano se ve obligado a considerar conjuntos de puntos. Como si, en química, los átomos no fueran distinguibles entre sí y solo la geometría de los ensamblajes moleculares portara información.
...Una figura geométrica, triángulo (considerado como un conjunto de tres puntos, o de tres segmentos), cuadrado (considerado como un conjunto de cuatro puntos, o de cuatro segmentos), puede ser transportada por el grupo. Aquí entra en juego la idea fundamental de especie. Dos "objetos" se dirán de la misma especie si existe un elemento del grupo que permita llevar uno sobre el otro.
Frente al grupo euclidiano, los cuadrados con el mismo lado a forman una especie:
Cuadrados de la misma especie.
...Si los lados a y b son diferentes, estos objetos no son de la misma especie. No existe un elemento del grupo que permita pasar de uno al otro. Frente al grupo euclidiano
estos cuadrados no forman la misma especie.
Euclides no permite las homotecias. Para poder manejarlas, habría que pasar a otro grupo, el de Descartes:
grupo de cuatro parámetros g (l, a, Dx, Dy), donde l es un coeficiente de homotecia. Por tanto, la dimensión de este grupo es 4.
A partir de aquí se puede imaginar fácilmente que exista un grupo euclidiano actuando sobre objetos en tres dimensiones.
...No se trata de lanzarse en un curso completo sobre grupos, sino de captar algunas ideas. ¿Qué es la zoología? Una ciencia que consiste en estudiar los animales y clasificarlos. Si nos limitamos a la forma, el grupo euclidiano permite clasificar conejos adultos. Habría que recurrir al grupo de Descartes para poder clasificar en la misma especie conejos de tamaños diferentes, ya que no existe un elemento del grupo euclidiano (3D) que permita pasar de un conejo pequeño a uno grande.
...¿Sonríes? Tienes razón. Quizás en tu apartamento o casa tengas un bebé en proceso de aprendizaje, que juega en una esquina. Le has dado un juguete clásico y se esfuerza por meter en una especie de caja de formas: cilindros, cubos o prismas de base triangular.
...¿Qué está haciendo? Se familiariza con el grupo euclidiano, en 3D. Clasifica objetos por especies, lo que le permitirá más adelante reconocerlos, hacer de la "reconocimiento de formas".
...Aunque sean de colores diferentes, el bebé verifica que existen acciones del grupo (transportes de estos objetos en el espacio 3D) que permiten llevar el cilindro A y el cilindro B a coincidir, usando el cedazo que es la "forma hueca" de ese cilindro o de ese prisma: la entrada hacia el compartimento de su caja de clasificación. Así aprenderá que estos cilindros A y B, frente al criterio forma (grupo euclidiano), pertenecen a la misma especie.
