grupos y acción coadunta de momento en física
| 5 |
|---|
Una matriz cuadrada de rango (n,n) actúa sobre un vector columna (n,0). Hemos visto que el grupo euclidiano 2D, referido a un espacio (x,y), no involucra acciones sobre vectores columna:
(51)
sino sobre vectores columna:
(52)
Lo cual representa un ejemplo de acción del grupo sobre un espacio X con x ** X **. Existe una infinidad de acciones posibles, incluso la acción del grupo sobre sí mismo. Las acciones se definen mediante axiomas.
(53)
Considerando el vector columna:
(54)
donde x representa, por ejemplo, los vectores:
(55)
(56)
que satisfacen los axiomas de la acción del grupo. Entonces se puede realizar una multiplicación a la izquierda de la matriz cuadrada que representa el elemento del grupo, con una matriz fila y, preguntándose si también constituye una acción.
(57) Ag(y) = y x g
La respuesta es no. No se trata de una acción del grupo: no satisface los axiomas dados anteriormente. Entonces, lo que yo llamo una "antiacción", que obedece a los siguientes "anti-axiomas":
(58)
El matemático dirá que no hay necesidad de invocar estas "antiacciones" y que basta con un conjunto de axiomas. Cierto. Del mismo modo, lo que se considera una "antiacción":
(59) AAg(m) = g⁻¹ x m x g
donde m es un vector dado, una "antiacción del elemento g del grupo G sobre la matriz m", con g⁻¹ representando la matriz inversa, puede tratarse como una acción del elemento g⁻¹.
Asimismo, una "antiacción" no es más que la dual de una acción. Digamos que me pareció conveniente introducir este concepto por razones didácticas.
A partir de un grupo de matrices cuadradas, dependiente de n parámetros pi, se pueden construir matrices diferenciando todos estos parámetros según: dpi. Las matrices así obtenidas, repletas de elementos dpi, no constituyen un grupo, sino lo que se llama el "vector tangente al grupo": dg (su "álgebra de Lie", que por cierto tampoco es verdaderamente un álgebra, pero pasemos por alto eso).
Por tanto, el grupo puede actuar sobre el "vector tangente" dg, en las cercanías del elemento neutro e del grupo, a través de la "antiacción":
(60) **AAg(m) = g⁻¹ x dg(g=e) **x g
Así se obtiene el esquema:
(61)
Pero una antiacción es la dual de una acción. Y cuando hay dualidad, se conserva un producto escalar S. Por tanto, Souriau buscó construir una segunda acción del grupo, la acción del grupo sobre su espacio de momentos. Pero esta acción, denominada acción coadunta o esencial, no podía surgir directamente. Tuvo que pasar por este intermediario que yo llamo "la antiacción del grupo sobre su vector tangente".
Así, la acción buscada emerge como dual de la antiacción del grupo sobre su vector tangente. Y la dual de una antiacción es una acción, que se escribirá como:
(62) Ag(J)
donde J será el "momento": una constelación de cantidades que son atributos de un "punto material", y la acción en cuestión, denominada coadunta, muestra cómo estos atributos cambian durante el movimiento.
Existe un grupo, que se dará más adelante, que es una extensión del grupo de Galilei, también dado más adelante, y que se llama grupo de Bargmann (1960). Aplicando este método a este grupo, se puede construir su momento JB y la manera en que el grupo actúa sobre él.
Souriau suele decir:
El momento sigue el movimiento como su sombra.
Hermosa imagen, tomada de su obra "Gramática de la Naturaleza". El punto material efectivamente se mueve en el espacio-tiempo (x,y,z,t). Al hacerlo, sus atributos evolucionan, lo cual se describe mediante esta acción coadunta del grupo sobre su espacio de momentos.