grupos y acción coadunta de la física momento
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Todo lo que puedo decir es:
- que al alejarme de la "meta" una distancia c.
- al observarla mientras yo mismo me desplazo a una velocidad v.
- al estar, respecto a esta meta, desfasado en un intervalo de tiempo Dt
Respecto a mí:
--- No he variado su masa m.
--- Le he otorgado un impulso m v (cantidad de movimiento).
--- Le he otorgado un paso m [ c - v Dt ]
--- y una rotación:
Explicamos esta última:
(118a)
(118b)
(118c)
o bien:
(118d)
Se puede considerar que las tres componentes independientes de la matriz rotación l son las de un vector. Este se escribe entonces como:
(119)
Aunque no se haya definido el producto vectorial en nuestro espacio, es decir, no se le haya asignado una orientación derecha-izquierda, se puede considerar esto como un producto vectorial:
(120)
el v invertido indicando el producto vectorial. Se observa que la última línea de las fórmulas que dan la acción coadunta sobre el momento corresponde a:
(121)
l siendo una matriz y no un vector (pero, en nuestras notaciones, las letras en negrita designan indistintamente ambos, mientras que las letras normales se refieren a escalares).
Este vector producto vectorial comienza a parecerse, para el físico, a algo conocido: el momento angular.
Tomamos una partícula, nos alejamos de ella una distancia c y la observamos mientras nos movemos a una velocidad v. Todo ocurre como si fuera al revés: como si la partícula estuviera alejada de un observador supuestamente fijo y se moviera a una velocidad v.
(122)
Queda el "paso" f = m [ c - v Dt ]
Se anula simplemente haciendo c = v Dt, es decir, relacionando la velocidad v con la traslación espacio-temporal:
(123)
Volvamos a la expresión del momento procedente del grupo de Poincaré, expresado en un sistema de coordenadas donde el paso sea nulo:
(124)
Una partícula es una elección particular realizada en el momento. Dado esto, cambios de coordenadas permiten hacer desaparecer el paso f y reducir las componentes de la rotación l y del impulso P a una sola componente (movimiento en z):
(125)
El objeto descrito por el grupo de Poincaré posee, por tanto, a priori:
- una energía E
- un impulso P
- una rotación propia l
La rotación es una masa multiplicada por una longitud, todo multiplicado por una velocidad. Tiene, por tanto, las dimensiones M L² T⁻¹ de la constante de Planck h.
El método de cuantificación geométrica, desarrollado por Souriau (ver Structure des Systèmes Dynamiques, Dunod 1973), permite demostrar que esta rotación debe ser proporcional a:
(125b)
con valores semienteros. Es decir, o bien la unidad (fotón), o bien 1/2 para las demás partículas como el electrón, el protón, el neutrón, los neutrinos y sus antipartículas.