grupos y acción coadunta de momento en física
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Las cuatro componentes del grupo de Poincaré.
A partir del grupo de Lorentz se construye el grupo de Poincaré, ya mencionado:
(142)
C es el vector "traslación espacio-temporal".
(143)
Este grupo de Poincaré también tendrá cuatro componentes, cada una relacionada con la componente correspondiente del grupo de Lorentz.
Arriba, la acción del grupo sobre su espacio de movimientos. Pero lo interesante son las acciones de las cuatro componentes sobre el momento. Ver: Souriau, Structure des Systèmes Dynamiques, Dunod 1973 (y Birkhauser 1997, en inglés), capítulo III, página 197, sección titulada: Inversions d'espace et de temps.
Recordemos las componentes del momento asociado al grupo de Poincaré:
E: energía
p: impulso
f: paso
l: giro
Para estar cerca de las notaciones de Souriau, llamemos:
- Ln a la componente neutra del grupo de Lorentz.
- Ls a la que invierte el espacio.
- Lt a la que invierte el tiempo.
- Lst a la que invierte ambos.
C, siendo una traslación espacio-temporal, las cuatro componentes del grupo de Poincaré son:
gp (Ln, C) componente neutra
gp (Ls, C) invirtiendo el espacio
gp (Lt, C) invirtiendo el tiempo
gp (Lst, C) invirtiendo el espacio y el tiempo.
Busquemos los efectos sobre las componentes del momento. Debemos considerar las fórmulas que dan la acción del grupo sobre su espacio de momentos:
(144)
P es el cuadrivector:
(145)
Podemos escribir las matrices a analizar:
(146)
con l = ±1 y m = ±1.
Ln = L(l = 1; m = 1)
Ls = L(l = -1; m = 1)
Lt = L(l = 1; m = -1)
Lst = L(l = -1; m = -1)
(147)
(148)
Pasemos al examen de la acción sobre el giro y el paso.
(149)
Pero, en lo que nos interesa, C = 0
(150)
de donde l' = l y f' = l m f
Deducimos:
(151) gp (Ln, C): I E → E; p → p; f → f; l → l
gp (Ls, C): I E → E; p → -p; f → -f; l → l
gp (Lt, C): I E → -E; p → p; f → -f; l → l
gp (Lst, C): I E → -E; p → -p; f → f; l → l
Las inversiones nunca cambian el giro l.
Por el contrario, la inversión temporal y la inversión de la energía, E → -E, son sinónimas.
El giro es sinónimo de espín cuando se cuantiza. Ninguna inversión lo altera.
El espín (como módulo del vector giro de la partícula) es simplemente un número.
La energía de una partícula en reposo es mc².
La inversión temporal es sinónima de inversión de la masa m.
La inversión espacial no invierte la masa.
Las dos primeras componentes del grupo son denominadas por Souriau ortocronas, y las dos últimas anticronas.
Observa que todo esto plantea el problema de las masas negativas, que no gustan mucho a los físicos. En efecto, ¿qué sucede con el resultado del encuentro de dos partículas con energías +mc² y -mc²?
Hay una aniquilación completa. No se trata de la simple aniquilación materia-antimateria, que da fotones. Se trataría de un fenómeno que produciría nada en estado puro.
Para evitar este escollo de las masas negativas, Souriau considera dos soluciones. La primera consiste en decidir simplemente que las partículas con masa negativa no existen. La segunda consiste en excluir las transformaciones anticronas.
Paráfrasis: podríamos decir que:
- Dios, en su infinita sabiduría...
Continuemos estableciendo elementos que servirán de punto de partida para nuestro propio trabajo.