grupos y acción coadunta de momento de física
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Extensión central del grupo de Poincaré.
Se menciona una extensión de este tipo en el libro de J.M. Souriau, Structura des Systèmes Dynamiques. Su método de cuantificación geométrica le permite, a partir de un grupo, recuperar las ecuaciones de la Mecánica Cuántica. Por ejemplo, el grupo de Bargmann, que describe una partícula material no relativista, conduce a la ecuación de Schrödinger, también no relativista.
El punto de partida es el grupo de Galileo. Se trata de una matriz de tamaño (5,5) construida de esta forma:
(152)
La matriz de rotación depende de tres parámetros, los ángulos de Euler. Por tanto, la dimensión del grupo es diez.
Utilizando las siguientes notaciones:
(153)
(154)
asociado al espacio-tiempo:
(155)
Aunque parezca extraño, la construcción de la acción coadunta del grupo sobre su espacio de momentos no hace aparecer la masa m como objeto geométrico. Esto solo puede lograrse mediante una extensión no trivial de este grupo, el grupo de Bargmann (1960).
(156)
La presencia del escalar f da a este grupo una dimensión adicional: once.
Este grupo actúa sobre un espacio de cinco dimensiones, el espacio-tiempo, más una dimensión adicional z, a través de la acción:
(157)
La acción coadunta del grupo de Bargmann sobre su momento fue dada anteriormente. Se observa que la adición del escalar f, al aumentar la dimensión del grupo, añade una componente al momento, que se identificará entonces con la masa m (la cual, por cierto, se conserva: m' = m).
Partiendo del grupo de Bargmann y utilizando su método de cuantificación geométrica, Souriau puede entonces construir la ecuación de Schrödinger, no relativista.
La ecuación cuántica relativista es la ecuación de Klein-Gordon. Era, por tanto, lógico buscar qué grupo podría generarla. Se trata de la extensión central:
(158)
"pe" para "Poincaré extendido". Aquí hemos construido el grupo de Poincaré a partir del subgrupo ortocrono del grupo de Lorentz Lo.
El espacio asociado a este grupo también es un espacio de cinco dimensiones:
(159) ( t , x , y , z , z ).
Esta extensión es más sencilla que la de Bargmann, pero en realidad las cosas siempre son más fáciles en relativista. Se demuestra, incidentalmente, que entre el 1 y el f de la primera fila solo puede haber la matriz fila 0 = (0 0 0): es decir, solo ceros.
El método de cuantificación geométrica conduce entonces a la ecuación de Klein-Gordon. En lo que respecta a la acción del grupo sobre su espacio de momentos, obtenemos lo siguiente:
(160)
Jpe = { c , M , P } = { c , Jp }
El cálculo no es complicado. En realidad, se ajusta completamente al cálculo de la acción coadunta del grupo de Poincaré sobre su momento.
Se calcula la antiacción:
(160 b)
y luego se expresa la invariancia del producto escalar (dualidad):
(160 c)
Si logras salir de este cálculo, será un claro indicio positivo. Significará que empiezas a adentrarte en este lío.
Aparece entonces un escalar c, cuya única función es conservarse. ¿Qué significa? No hay explicación. Simplemente es "algo que se conserva". Se le puede atribuir, por ejemplo, el estatus de carga eléctrica.
La primera idea que surge es realizar este tipo de extensión varias veces:
(161)
Más adelante se demostrará que esta operación puede realizarse indefinidamente y que cada vez añade un escalar adicional:
(162) Jpe = { c₁, c₂, c₃, ..., M, P } Jpe = { c₁, c₂, c₃, ..., Jp }
con la acción coadunta:
(163)
Se considerará entonces que ciertos valores discretos de las componentes del momento representan las cargas de la partícula.
Bien, dirá el lector, efectivamente, podríamos añadir, por ejemplo, seis filas adicionales. Obtendríamos entonces la invariancia de escalares que podríamos identificar con:
(164)
c₁ = e (carga eléctrica)
c₂ = cB (carga bariónica)
c₃ = cL (carga leptónica)
c₄ = cm (carga muónica)
c₅ = ct (carga tauónica)
c₆ = v (coeficiente giromagnético)
Bastaría con considerar el grupo, con la acción correspondiente, asociado a un espacio de diez dimensiones:
(165) (x, y, z, t, z₁, z₂, z₃, z₄, z₅, z₆)
(166)
Una vez más, construimos el grupo alrededor del subgrupo ortocrono Lo del grupo de Lorentz:
Lo = Ln (componente neutra) » Ln (inversión del espacio).
Este grupo, con dos componentes, hace simplemente aparecer seis escalares que acompañan a la partícula sin interactuar con nada. El momento se convierte en:
(167) Jpe = { q, cB, cL, cm, ct, v, Jp }
Jp siendo la "parte de Poincaré". Pero esto sigue teniendo un interés limitado.