f4203 Geometrización de la materia y la antimateria a través de la acción coaduyente de un grupo sobre su espacio de momentos. 1 : Cargas como componentes escalares adicionales del momento de un grupo que actúa sobre un espacio de 10 dimensiones. Definición geométrica de la antimateria. (p3) El grupo de Poincaré completo es :
(31) Gp = Gn U Gs U Gt U Gst
La componente neutra Gn es el primer subgrupo. El grupo ortocrónico [1] :
(32) Go = Gn U Gs
también es un subgrupo del grupo de Poincaré.
La parte antiortocrónica del grupo [1] :
(33) Gac = Gt U Gst no es un grupo. Obviamente :
(34) Gp = Go U Gac
...Como se indica en [1], la presencia de los elementos de Gac = Gt U Gst puede producir partículas de masa negativa, como movimientos particulares de la materia, desarrollándose hacia atrás en el tiempo. En su libro [1], J.M. Souriau propone dos soluciones :
-
O bien se decide simplemente que las masas negativas no pueden existir.
-
O bien el grupo de Poincaré se limita a su subgrupo ortocrónico.
(35) Go = Gn U Gs
2) Extensión central del grupo de Poincaré. (36)
es la extensión central del grupo de Poincaré, construida a partir del subgrupo ortocrónico. La acción correspondiente es : (37)
z es una dimensión adicional, una quinta dimensión. La dimensión del grupo se convierte en 11 y el momento adquiere una componente adicional correspondiente :
(38) Jpe = { c , M , P } = { c , Jp }
La acción coaduyente da : (39)
...El significado físico de esta undécima componente c nunca ha sido claramente comprendido. Gracias a su método de cuantificación geométrica, J.M. Souriau muestra que el espín debe ser cuantificado [1]. Al elegir un sistema de coordenadas en el que el paso se convierte en cero, y considerando solamente los movimientos según z, la matriz de momento Jp se convierte en :
(40)
donde E es la energía, p el módulo del vector impulso y s el espín.
Los fotones corresponden a :
(41)
con dos helicidades distintas: derecha y izquierda (polarización).
Los neutrinos corresponden a :
(42)
con también dos helicidades distintas.
Las partículas de masa no nula como el protón, el electrón, el neutrón, corresponden a :
(43)
con : (44)
(45))
...A partir del grupo de Poincaré extendido (36), mediante el método de Kostant-Kirilov-Souriau, se puede derivar [1] la ecuación relativista cuántica de Klein-Gordon. De manera similar [1], el grupo de Bargmann no relativista (1960) da la ecuación de Schrödinger no relativista.
¿Y la antimateria?
...En un libro anterior [2], J.M. Souriau desarrolló la relatividad general en cinco dimensiones, añadiendo una dimensión adicional z al espacio-tiempo (x, y, z, t)
...Luego, referencia [2], Capítulo VII, página 413, identifica la inversión de la quinta dimensión (z ---> -z) con la conjugación de carga (o inversión de carga, o simetría C), transformando la materia en antimateria.
Versión original (inglés)
f4203 Geometrization of matter and antimatter through coadjoint action of a group on its momentum space. 1 : Charges as additional scalar components of the momentum of a group acting on a 10d-space. Geometrical definition of antimatter. (p3) The complete Poincaré group is :
(31) Gp = Gn U Gs U Gt U Gst
The neutral component Gn is the first sub-group. The orthochron group [1] :
(32) Go = Gn U Gs
is also a sub-group of the Poincaré group.
The antichron part of the group [1] :
(33) Gac = Gt U Gst is not a group. Obvioulsy :
(34) Gp = Go U Gac
...As pointed out in [1] the presence of the elements of Gac = Gt U Gst may produce negative mass particles, as peculiar movements of matter, runing backward in time. In his book [1] J.M.Souriau suggests two solution :
-
Either one simply decides that negative masses cannot exist.
-
Either the Poincaré group is limited to its orthochron subgroup.
(35) Go = Gn U Gs
2) The central extension of the Poincaré group. (36)
is the central extension of the Poincaré group, built from the orhochron sub-group. The corresponding action is : (37)
z is an additional dimension, a fifth dimension. The dimension of the group becomes 11 and the momentum gets a corresponding extra component :
(38) Jpe = { c , M , P } = { c , Jp }
The coadjoint action gives : (39)
...The physical meaning of this 11th component c was neven clearly undestood. Through his geometric quantification method, J.M.Souriau shows than the spin must be quanticized [1]. Choosing a coordinate system in which the passage becomes zero, and considering only z-motions, the Jp the momentum matrix becomes :
(40)
where E is the energy, p the modulus of the vector impulsion and s the spin.
Photons correspond to
(41)
with two distinct helicities : right and left (polarization).
Neutrinos correspond to :
(42)
with also two distinct helicities.
Non zero mass particles like proton, electron, neutron, correspond to :
(43)
with : (44)
(45))
...From the extended Poincaré group (36), through the Kostant-Kirilov-Souriau method one can derive [1] the relativistic quantum Klein-Gordon equation. Similarly [1] the non-relativist Bargmann group (1960) gives the non-relativistic Schödinger equation.
What about antimatter ?
...In a former book [2] J.M. Souriau developped general relativity in five dimensions, adding an extra dimension z to space-time ( x , y , z , t )
...Then, reference [2], Chater VII , page 413, he identifies the inversion of the fifth dimension ( z ---> - z ) to the charge conjugation ( or charge inversion, or C-symmetry ) transforming matter into anti-matter.