f4301 Geometrización de la materia y la antimateria a través de la acción coadunta de un grupo sobre su espacio de momentos. 2 :
Descripción geométrica de la antimateria de Dirac
** Jean-Pierre Petit & Pierre Midy ** Observatorio de Marsella ---
Resumen :
...Extendemos el grupo anterior a un conjunto de cuatro componentes ortocrónicas. Esta operación da una interpretación geométrica de la antimateria después de Dirac.
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1) Introducción :
...En un artículo anterior [1], presentamos una descripción de las partículas elementales en un espacio de diez dimensiones, es decir, el espacio-tiempo (x,y,z,t) más seis dimensiones adicionales :
(1) **{ **z 1 , z 2 , z 3 , z 4 , z 5 , z 6 }
Presentamos un grupo de 16 dimensiones, extensión del subgrupo ortocrónico de Poincaré, actuando sobre :
-
su espacio de momentos de 16 dimensiones
-
su espacio de movimiento de 10 dimensiones.
Las seis componentes adicionales del momento se identificaron con las cargas de las partículas :
(2) { q , cB , cL , cm , ct , v }
de forma que el momento se convierte en :
(3) Jpe = { q , cB , cL , cm , ct , v , Jp } donde Jp representa el momento clásico, proveniente del subgrupo ortocrónico de Poincaré :
(4) Jpo = { E , p , f , **l **}
según J.M. Souriau [1].
Establecimos el vínculo entre las especies de momentos y las especies de movimiento, sugiriendo que :
-
El movimiento de la materia corresponde al sector { z i > 0 }.
-
El movimiento de la antimateria corresponde al sector { z i < 0 }.
-
El movimiento de los fotones corresponde al plano { z i = 0 }.
Todo esto debe ahora ser justificado.
2) Introducción de un grupo de cuatro componentes. Geometrización de la antimateria de Dirac.
...El grupo anterior de 16 dimensiones tenía dos componentes, correspondientes a las dos componentes ortocrónicas del grupo de Lorentz, Ln (componente neutra) y Ls, con :
(5) Lo (subgrupo ortocrónico) = Ln U Ls
Nuestro grupo era una extensión del subgrupo ortocrónico de Poincaré :
(6) Go = Gn U Gs
y lo escribimos :
(7)
La acción coadunta correspondiente era :
(8)
con :
(9) {c i} = { q , cB , cL , cm , ct , v }
...En tal grupo, ningún elemento transforma el movimiento de un punto material en el de un punto de antimateria, ni viceversa. Según la definición elegida de la antimateria, a través de una :
(10) Simetría z : {z i} ----> {- z i}
un elemento debería invertir las dimensiones adicionales. Con :
(11)
podemos escribir el grupo anterior en una forma más compacta :
(12)
Contiene el elemento neutro :
(13)
La matriz que invierte las dimensiones adicionales es el siguiente conmutador ortocrónico :
(14)
Podemos duplicar el grupo anterior mediante la operación :
(15) go x goc
Lo cual es equivalente a escribir el nuevo grupo de cuatro componentes, cuyos elementos son :
(16)
La acción coadunta correspondiente es :
(17)
Vemos que ( l = - 1 ) invierte las cargas. En ese caso, la inversión de las dimensiones adicionales :
(18) Simetría z : {z i} ----> {- z i}
va acompañada de una :
(19)
Simetría C (o conjugación de carga) : { q , cB , cL , cm , ct , v } ---> {- q ,- cB ,- cL ,- cm ,- ct , - v }
lo cual corresponde a la descripción de la antimateria de Dirac [4], de forma que este trabajo representa una geometrización de la antimateria según Dirac.
Versión original (inglés)
f4301 Geometrization of matter and antimatter through coadjoint action of a group on its momentum space. 2 :
Geometrical description of Dirac's antimatter
** Jean-Pierre Petit & Pierre Midy** Observatoire de Marseille ---
Abstract :
...vWe extend the precedent group to a four-components orthochron set. This operation gives a geometrical interpretation of antimatter after Dirac.
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1) Introduction :
...In a former paper [1] we have presented a description of elementary particles ins a ten-dimensional space, i.e. space-time (x,y,z,t) plus six additional dimensions :
(1) **{ **z 1 , z 2 , z 3 , z 4 , z 5 , z 6 }
We presented a 16-dimensions group, an extension of the Poincaré orthochron subgroup, acting on :
-
its 16-dimensions momentum space
-
its 10-dimensional movement space.
The six additional components of the momentum have been identified to the charges of the particles :
(2) { q , cB , cL , cm , ct , v }
so that the momentum becomes :
(3) Jpe = { q , cB , cL , cm , ct , v , Jp } where Jp represent the classical moment, from the orthochron Poincaré sub-group :
(4) Jpo = { E , p , f , **l **}
after J.M.Souriau [1].
We have figured the link between the species of moments and the species of movement, suggesting that :
-
The movement of matter corresponds to { z i > 0 } sector.
-
The movement of antimatter corresponds to { z i < 0 } sector.
-
The movement of photons corresponds to { z i = 0 } plane.
All that must be now justified.
2) Introducing a four components group. Geometrization of Dirac's antimatter.
...The precedent 16-dimensional group had two components, correspondong to the two orthochron components of the Lorentz group, Ln ( neutral component ) and Ls , with :
(5) Lo ( orthochron sub-group ) = Ln U Ls
Our group was an extension of the orthochron Poincaré sub-group :
(6) Go = Gn U Gs
and we wrote it :
(7)
The corresponding coadjoint action was :
(8)
with :
(9) {c i} = { q , cB , cL , cm , ct , v }
...In such a group no element transforms the movement of a matter mass-point into the movement of an antimatter mass-point, and vice versa. According to the chosen definition of antimatter, through a :
(10) z - Symmetry : {z i} ----> {- z i}
some element should reverse the additional dimensions. With :
(11)
we can write the precedent group into a more compact form :
(12)
It contains the neutral element :
(13)
The matrix that reverses the additional dimensions is be the following orthochron commuter :
(14)
We can duplicate the precedent group through the operation :
(15) go x goc
It is equivalent to write the new four component group, whose element is :
(16)
The corresponding coadjoint action is :
(17)
We see that ( l = - 1 ) reverses the charges. In that case the inversion of the additional dimensions :
(18) z - Symmetry : {z i} ----> {- z i}
goes with a :
(19)
C-symmetry (or charge conjugation ) : { q , cB , cL , cm , ct , v } ---> {- q ,- cB ,- cL ,- cm ,- ct , - v }
which corresponds to Dirac's description of antimatter [4], so that the present paper represents a geometrization of antimatter after Dirac.